리만 제타함수 (Riemann Zeta Function) $\zeta(s)$ $(\Re(s) > 1)$의 기본 정의는 다음과 같습니다.
$$ \zeta(s) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{s}} $$이 정의가 $s > 1$인 실수 $s$에 대해서 수렴한다는 것은 $p$급수 판정법 에 의해 보일 수 있습니다.
$$ \zeta(s) = \prod_{p} \frac{1}{1 - {p}^{-s}} $$모든 소수 $p$에 대하여 $\frac{1}{1 - p^{-s}}$를 곱한 값입니다.
$$ \ln \zeta(s) = s \int_{2}^{\infty} \frac{\pi(x)}{x (x^{s} - 1)} dx $$이때, $\ln x$는 자연로그함수 , $\pi(x)$는 소수 계량 함수 입니다.
$$ \zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_{0}^{\infty} \frac{t^{s - 1}}{e^t - 1} dt $$$e$는 자연로그의 밑 e 입니다.
$$ \frac{1}{\zeta(s)} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^{s}} $$$\mu(n)$은 뫼비우스 함수 입니다.
$$ \psi(x) = x - \sum_{\rho\in S} \frac{x^\rho}{\rho} - \ln 2 \pi - \frac12 \ln(1-x^{-2}) $$집합 $S$의 정의는 $S = \{ \rho \in \mathbb C \colon \zeta(\rho)=0, \; 0 < \Re(\rho) < 1 \}$ 이고, $\sum\limits_{\rho\in S} \frac{x^\rho}{\rho}$는 절대수렴하지 않으므로 $|\Im(\rho)|$ 순으로 더해줍니다.