증명의 스케치
$f(n, x) = 2^n \left( {x}^{\frac{1}{2^n}} - 1 \right)$라 하고, $f(n, x)$를 $n$에 대한 수열로 봄.
$f(n, x)$가 단조 감소하고 하계가 있다는걸 보이고 단조 수렴 정리에 따라 수렴하는 걸 보이기.
편의상 $x > 1$이라 두기
$N = 2^n$ 이라 두면 $f(n, x) = N \left( {x}^{\frac{1}{N}} - 1 \right)$ 이다.
$y = {x}^{\frac{1}{2N}}$ 로 두면, $y^{2} = {x}^{\frac{1}{N}}$ 이다.
$f(n, x) = N \left( {x}^{\frac{1}{N}} - 1 \right) = N \left( y^2 - 1 \right)$라 할 수 있는데,
$N \left( y^2 - 1 \right) = N \left( y + 1 \right) \left( y - 1 \right)$ 이고, $x > 1$에서 $y > 1$이고, $y + 1 > 2$ 이다.
따라서 $N \left( y + 1 \right) \left( y - 1 \right) > 2N \left( y - 1 \right)$ 이다.
$2N \left( y - 1 \right)$ 의 식을 풀어보면 $2N \left( y - 1 \right) = 2N \left( {x}^{\frac{1}{2N}} - 1 \right)$인데, 이때 $2N = 2^{n + 1}$이므로, $2N \left( {x}^{\frac{1}{2N}} - 1 \right) = f(n + 1, x)$이라 할 수 있음.
따라서 $f(n, x) > f(n + 1, x)$인데, $f(n, x) > 0$이므로 $f(n, x)$는 단조 수렴 정리에 의해 어떤 값으로 수렴하게 된다.
$0 < x < 1$인 경우에는 $f\left(n, \frac{1}{x}\right)$를 이용하여 정의해준다.

정의 1에 따른 증명
자연 로그 함수의 정의에 따라 $$ \ln{xy} = \int_{1}^{xy} {1 \over t}\, dt $$ 이다.
이때, 적분 구간을 [1, x], [x, xy]로 나누면 (1, x, xy의 대소는 중요하지 않음) $$ \int_{1}^{xy} {1 \over t}\, dt = \int_{1}^{x} {1 \over t}\, dt + \int_{x}^{xy} {1 \over t}\, dt $$ 이 되고, 자연 로그 함수의 정의에 따라 $$ \int_{1}^{x} {1 \over t}\, dt + \int_{x}^{xy} {1 \over t}\, dt = \ln{x} + \int_{x}^{xy} {1 \over t}\, dt $$ 이다.
$t = x u$로 치환하면 $dt = x\, du$, $t = x \to u = 1$, $t = xy \to u = y$에서 $$ \int_{x}^{xy} {1 \over t}\, dt = \int_{1}^{y} {1 \over xu}\, x\, du = \int_{1}^{y} {1 \over u}\, du $$ 이다. 자연 로그 함수의 정의에 따라 $$ \ln{x} + \int_{x}^{xy} {1 \over t}\, dt = \ln{x} + \int_{1}^{y} {1 \over u}\, du = \ln{x} + \ln{y} $$ 이고, 따라서 $\ln{xy} = \ln{x} + \ln{y}$ 이다.
정의 2에 따른 증명
$2^n \left( {(xy)}^{\frac{1}{2^n}} - 1 \right) = 2^n \left( {x}^{\frac{1}{2^n}} - 1 \right) {y}^{\frac{1}{2^n}} + 2^n \left( {y}^{\frac{1}{2^n}} - 1 \right)$
양변에 극한을 취하고, $\lim_{n \to \infty} {x}^{\frac{1}{2^n}} = 1$에서 $\ln{xy} = \ln{x} + \ln{y}$ 이다.

자연 로그 함수의 정의에 따라 $$ \ln{x^{y}} = \int_{1}^{x^{y}} {1 \over t}\, dt $$ 이다.
$t = u^{y}$로 치환하면 $dt = y u^{y - 1}\, du$, $t = 1 \to u = 1$, $t = x^{y} \to u = x$에서
$$ \ln{x^{y}} = \int_{1}^{x^{y}} {1 \over t}\, dt = \int_{1}^{x} {1 \over u^{y}}\, y\, u^{y - 1}\, du $$ 이다. ${y\, u^{y - 1} \over u^{y}}$을 약분해주면 (분모 분자를 $u^{y - 1}$로 나눈 것) $\frac{y}{u}$이므로, $$ \int_{1}^{x} {1 \over u^{y}}\, y\, u^{y - 1}\, du = \int_{1}^{x} {y \over u}\, du $$ 이고, $y$는 적분 변수 $u$와 별개이므로 적분식 밖으로 뺄 수 있다. 따라서 $$ \int_{1}^{x} {y \over u}\, du = y \int_{1}^{x} {1 \over u}\, du $$ 이고, 자연 로그 함수의 정의에 따라 $$ y \int_{1}^{x} {1 \over u}\, du = y \ln{x} $$ 이다. 따라서 $\ln{x^{y}} = y\ln{x}$ 이다.

2번 성질에서 $x = e$, $y = x$인 경우이다.
자연로그의 밑 $e$ 를 $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx = 1$를 만족하는 실수로 정의하였으므로 자연 로그 함수의 정의에 따라 $$ \int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx = \ln{e} = 1 $$ 이다.
$\ln{x^{y}} = y\ln{x}$ 에서 $x = e$, $y = x$를 대입하면 $\ln{e^{x}} = x\ln{e} = x$ 이다.

로그함수의 미분 에 의해 $\ln x$를 미분하면 $\frac{1}{x}$이다.