자연로그함수 (Natural Logarithm) $\ln{x}$는 모든 양의 실수 $x$에 대해 다음과 같이 정의합니다.
$$ \ln x = \int_{1}^{x} {1 \over t}\, dt $$이렇게 정의하면 "지수함수의 역함수를 로그함수로 정의하고 로그함수의 역함수를 지수함수로 정의하고 다시 지수함수의 역함수를 로그함수로 정의..."의 고리를 끊어낼 수 있습니다.
$$ \ln {e^{x}} = x $$$e$는 자연로그의 밑 e 입니다.
$$ \ln x = \lim_{n \to \infty} n \left( {x}^{\frac{1}{n}} - 1 \right) $$
$f(k, x) = k \left( {x}^{\frac{1}{k}} - 1 \right)$가 k일 때 존재하고, k + 1이면 작아지고, f(k, x) + f(k, y) = f(k, xy) 보이기
$f(n, x) = n \left( {x}^{\frac{1}{n}} - 1 \right)$에서 $y = {x}^{\frac{1}{2n}}$이라 하면 $y^{2} = {x}^{\frac{1}{n}}$이고, $
1. $\ln{xy} = \ln{x} + \ln{y}$
자연 로그 함수의 정의에 따라 $$ \ln{xy} = \int_{1}^{xy} {1 \over t}\, dt $$ 이다.
자연 로그 함수의 정의에 따라 $$ \ln{x^{y}} = \int_{1}^{x^{y}} {1 \over t}\, dt $$ 이다.
2번 성질에서 $x = e$, $y = x$인 경우이다.
로그함수의 미분 에 의해 $\ln x$를 미분하면 $\frac{1}{x}$이다.
1번 성질 증명
이때, 적분 구간을 [1, x], [x, xy]로 나누면 (1, x, xy의 대소는 중요하지 않음) $$ \int_{1}^{xy} {1 \over t}\, dt = \int_{1}^{x} {1 \over t}\, dt + \int_{x}^{xy} {1 \over t}\, dt $$ 이 되고, 자연 로그 함수의 정의에 따라 $$ \int_{1}^{x} {1 \over t}\, dt + \int_{x}^{xy} {1 \over t}\, dt = \ln{x} + \int_{x}^{xy} {1 \over t}\, dt $$ 이다.
$t = x u$로 치환하면 $dt = x\, du$, $t = x \to u = 1$, $t = xy \to u = y$에서 $$ \int_{x}^{xy} {1 \over t}\, dt = \int_{1}^{y} {1 \over xu}\, x\, du = \int_{1}^{y} {1 \over u}\, du $$ 이다. 자연 로그 함수의 정의에 따라 $$ \ln{x} + \int_{x}^{xy} {1 \over t}\, dt = \ln{x} + \int_{1}^{y} {1 \over u}\, du = \ln{x} + \ln{y} $$ 이고, 따라서 $\ln{xy} = \ln{x} + \ln{y}$ 이다.
2번 성질 증명
$t = u^{y}$로 치환하면 $dt = y u^{y - 1}\, du$, $t = 1 \to u = 1$, $t = x^{y} \to u = x$에서
$$ \ln{x^{y}} = \int_{1}^{x^{y}} {1 \over t}\, dt = \int_{1}^{x} {1 \over u^{y}}\, y\, u^{y - 1}\, du $$ 이다. ${y\, u^{y - 1} \over u^{y}}$을 약분해주면 (분모 분자를 $u^{y - 1}$로 나눈 것) $\frac{y}{u}$이므로, $$ \int_{1}^{x} {1 \over u^{y}}\, y\, u^{y - 1}\, du = \int_{1}^{x} {y \over u}\, du $$ 이고, $y$는 적분 변수 $u$와 별개이므로 적분식 밖으로 뺄 수 있다. 따라서 $$ \int_{1}^{x} {y \over u}\, du = y \int_{1}^{x} {1 \over u}\, du $$ 이고, 자연 로그 함수의 정의에 따라 $$ y \int_{1}^{x} {1 \over u}\, du = y \ln{x} $$ 이다. 따라서 $\ln{x^{y}} = y\ln{x}$ 이다.
3번 성질 증명
자연로그의 밑 $e$ 를 $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx = 1$를 만족하는 실수로 정의하였으므로 자연 로그 함수의 정의에 따라 $$ \int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx = \ln{e} = 1 $$ 이다.
$\ln{x^{y}} = y\ln{x}$ 에서 $x = e$, $y = x$를 대입하면 $\ln{e^{x}} = x\ln{e} = x$ 이다.
4번 성질 증명
자연로그와 비슷한 함수로, 이진로그함수 , 상용로그함수 가 있습니다. (상수배 차이밖에 나지 않습니다.)
자연로그를 일반화한 함수로 폴리로그함수 가 있습니다.