자연로그의 밑 e

자연로그 의 밑 $e$는 다음 식을 만족하는 실수 로 정의합니다.

$$ \int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx = 1 $$
여러 분야에서 사용되는 만큼 여러가지 정의가 존재합니다.
특정 수열의 극한값으로 표현하는 방법이 있습니다.
$$ e = \lim_{n \to \infty} {\left(1 + \frac{1}{n}\right)}^{n} $$
무한합으로 표현하는 방법이 있습니다.
$$ e = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} $$
$n!$은 팩토리얼 기호입니다.
해당 무한합의 수렴을 보이는 것은 해당 부분합이 유계 라는 것을 보이면서 진행됩니다.
어떤 극한값이 나오게 하는 값으로도 정의하기도 합니다.
$$ \lim_{h \to 0} \frac{x^{h} - 1}{h} = 1 $$ 을 만족하는 양의 실수 $x$의 값을 $e$라 한다.
원주율 $\pi$ , 허수 단위 $i$ 와 함께 수학에서 아주 중요한 상수 중 하나입니다.
$e$, $\pi$, $i$, $1$, $0$, 이 다섯가지 상수들로 다음 식이 성립합니다.
오일러 항등식 (Euler's Identity) $$ e^{\pi i} + 1 = 0 $$
이는 오일러 공식의 특수한 경우입니다.
오일러 공식 (Euler's Formula) $$ e^{i x} = \cos x + i \sin x $$
$\cos x$는 코사인함수 , $\sin x$는 사인함수 입니다.
지수함수 $e^{x}$는 미분 해도 그대로 $e^{x}$입니다.
$e$는 무리수 임이 알려져있습니다. 초월수 임도 알려져있습니다.
$e$ 100번째 자리까지 보기

10자리씩 끊기
2. 7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995 9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274

각 정의의 동등함 증명

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무리성 증명

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라플라스 변환 $\mathscr{L}$을 $\mathscr{L}(f(t)) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt = F(s)$로 정의합니다.