리만 가설
리만 가설 (Riemann Hypothesis) 의 내용은 다음과 같습니다.
$\zeta(s) = 0$인 모든 비자명한 해 $s$의 실수 부는 $\frac{1}{2}$이다.
$\zeta(s)$는 리만 제타함수 입니다.
"모든 비자명한 해의 실수부가 1은 아니다"라는 내용은 소수 정리 와 동치입니다. 하지만, 소수 정리로는 비자명한 해 $s$의 실수부가 $0$보다 크고 $1$보다 작다는 것만 알려줄 뿐이고, $\frac{1}{2}$에 관련한 내용은 알 수 없습니다.
자명한 해로는 음의 짝수들 (-2, -4, -6, ...)이 있습니다.
현재까지 비자명한 해의 실수부가 $\frac{1}{2}$ 인 경우가 무수히 많으며, 실수부가 0보다 크고 1보다 작다는 정도까지만 알려져있습니다.
모든 비자명한 해의 역수의 합은 $1 + \frac{1}{2} \gamma - \frac{1}{2} \ln{4 \pi}$로 알려져 있습니다. ($\gamma$는 오일러-마스케로니 상수 , $\ln{x}$는 자연로그함수 , $\pi$는 원주율 $\pi$ 입니다. 정말 온갖 것들이 다 들어갑니다.)
동치인 명제로는 로빈 부등식 , Riesz의 규준 등이 있습니다.
안그래도 풀리지 않은 리만 가설을 일반화한 가설도 존재하는데, 모든 디리클레 L-함수 의 모든 비자명한 해 $s$의 실수부는 $\frac{1}{2}$라는 가설 입니다. (리만 제타 함수도 디리클레-L 함수의 일종)
이 일반화 리만 가설도 현재까지 반례가 발견된 바 없습니다.