감마함수
감마함수 (Gamma Function) 는 팩토리얼 을 실수 전체의 범위로 확장 시킨 것으로, 먼저 양의 실수 범위에서 다음과 같이 정의합니다.
$$
\Gamma(s) = \int^{1}_{0} {\left\{ \ln \left( \frac{1}{x} \right) \right\}}^{s - 1} \, dx \quad (s > 0)
$$
$\ln{x}$는 자연로그함수 입니다.
이렇게 정의하면 $\Gamma(x + 1) = x \Gamma(x)$를 만족하고, $\Gamma(n + 1) = n!$을 만족합니다.
위의 정의에서 $x = e^{-t}$로 치환해주면, $dx = - e^{-t} dt$이고, $x = 0 → t = \infty$, $x = 1 → t = 0$에서 다음과 같이 정의할 수도 있습니다.
$$
\Gamma(s) = \int^{\infty}_{0} t^{s - 1} e^{-t} \, dt
$$
$e$는 자연로그의 밑 e 입니다.
오히려 이 정의가 익숙하신 분들이 더 많으실 수 있습니다.
불완전 감마함수 는 바로 이 정의를 이용하여 새로운 정의를 하기도 합니다.
감마함수의 여러가지 특징으로 오일러의 반사 공식 , 르장드르의 두배 공식 등이 있습니다.
음의 정수 값에서는 여전히 정의가 되질 않습니다.
특정 조건을 만족시키는 팩토리얼의 확장은 감마함수밖에 없다는게 보어-몰어업 정리를 통해 알려져있습니다.
감마함수 값은 (컴퓨터나 계산기가 없다면) 감마함수표 를 이용해 찾을 수도 있습니다.