제 1종 / 제 2종 체비셰프 함수

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제 1종 / 제 2종 체비셰프 함수

제 1종 체비셰프 함수 (First Chebyshev Function) $\vartheta(x)$ 의 정의는 다음과 같습니다.

$\vartheta(x) = \sum_{p \leq x} \ln p$

제 2종 체비셰프 함수 (Second Chebyshev Function)

$\psi(x)$ 의 정의는 다음과 같습니다.

$\psi(x) = \sum_{p^{k} \leq x} \ln p = \sum_{n \leq x} \Lambda(n)$

$\ln x$ 는 자연로그함수 ,

$\Lambda(p)$ 는 폰 망골트 함수 입니다.
제 1종 체비셰프 함수값은 "

$x$ 보다 작은 소수 의 자연로그값"들의 합, 제 2종 체비셰프 함수값은 "

$x$ 보다 작은 소수 거듭제곱의 소인수의 자연로그값"들의 합 입니다.
제 1종 체비셰프 함수는 이해가 그래도 쉬운 편이지만, 제 2종은 조금은 헷갈리는 정의를 가지고 있습니다.
그래서 예를 들어보자면

$x = 11$ 인 경우애,

$\vartheta(x) = \ln 2 + \ln 3 + \ln 5 + \ln 7 + \ln 11$ 이고,

$\psi(x) = \ln 2 + \ln 3 + \underbrace{\ln 2}_{n = 4 = 2^2} + \ln 5 + \ln 7 + \underbrace{\ln 2}_{n = 8 = 2^3} + \underbrace{\ln 3}_{n = 9 = 3^2} + \ln 11$ 입니다.
조금 더 와닿는 설명으로는, 자연로그의 밑

$e$ 에 대하여

$e^{\vartheta(x)}$ 의 값은

$x$ 이하의 모든 소수의 곱이고, (즉, 소수 계승 값)

$e^{\psi(x)}$ 의 값은

$x$ 이하의 모든 자연수 의 최소공배수 입니다.

~~$e^{\vartheta(n)} < 4^{n}$ 증명~~

소수 정리 에 의해

$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\vartheta(x)}{x} = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{\psi(x)}{x} = 1$ 임이 알려져있습니다.
다음 공식도 성립합니다.

$\psi(x) = x - \sum_{\rho\in S} \frac{x^\rho}{\rho} - \ln 2 \pi - \frac12 \ln(1-x^{-2})$

집합

$S$ 의 정의는

$S = \{ \rho \in \mathbb C \colon \zeta(\rho)=0, \; 0 < \Re(\rho) < 1 \}$ 이고,

$\zeta(s)$ 는 리만 제타함수 입니다.

$\sum\limits_{\rho\in S} \frac{x^\rho}{\rho}$ 는 절대수렴하지 않으므로

$|\Im(\rho)|$ 순으로 더해줍니다.