제 1종 / 제 2종 체비셰프 함수
제 1종 체비셰프 함수 (First Chebyshev Function) $\vartheta(x)$의 정의는 다음과 같습니다.
$$
\vartheta(x) = \sum_{p \leq x} \ln p
$$
제 2종 체비셰프 함수 (Second Chebyshev Function) $\psi(x)$의 정의는 다음과 같습니다.
$$
\psi(x) = \sum_{p^{k} \leq x} \ln p = \sum_{n \leq x} \Lambda(n)
$$
$\ln x$는 자연로그함수 , $\Lambda(p)$는 폰 망골트 함수 입니다.
제 1종 체비셰프 함수값은 "$x$보다 작은 소수 의 자연로그값"들의 합, 제 2종 체비셰프 함수값은 "$x$보다 작은 소수 거듭제곱의 소인수의 자연로그값"들의 합 입니다.
제 1종 체비셰프 함수는 이해가 그래도 쉬운 편이지만, 제 2종은 조금은 헷갈리는 정의를 가지고 있습니다.
그래서 예를 들어보자면 $x = 11$인 경우애,
$$ \vartheta(x) = \ln 2 + \ln 3 + \ln 5 + \ln 7 + \ln 11 $$이고, $$ \psi(x) = \ln 2 + \ln 3 + \underbrace{\ln 2}_{n = 4 = 2^2} + \ln 5 + \ln 7 + \underbrace{\ln 2}_{n = 8 = 2^3} + \underbrace{\ln 3}_{n = 9 = 3^2} + \ln 11 $$ 입니다.
조금 더 와닿는 설명으로는, 자연로그의 밑 $e$ 에 대하여 $e^{\vartheta(x)}$의 값은 $x$ 이하의 모든 소수의 곱이고, (즉, 소수 계승 값) $e^{\psi(x)}$의 값은 $x$ 이하의 모든 자연수 의 최소공배수 입니다.
$e^{\vartheta(n)} < 4^{n}$ 증명
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다음 공식도 성립합니다.
$$
\psi(x) = x - \sum_{\rho\in S} \frac{x^\rho}{\rho} - \ln 2 \pi - \frac12 \ln(1-x^{-2})
$$
집합 $S$의 정의는 $S = \{ \rho \in \mathbb C \colon \zeta(\rho)=0, \; 0 < \Re(\rho) < 1 \}$ 이고, $\zeta(s)$는 리만 제타함수 입니다.
$\sum\limits_{\rho\in S} \frac{x^\rho}{\rho}$는 절대수렴하지 않으므로 $|\Im(\rho)|$ 순으로 더해줍니다.