아페리 상수
아페리 상수 (Apery's Constant) 는 다음과 같습니다.
$$
\zeta(3) = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{3}} = 1 + \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{3^{3}} + \frac{1}{4^{3}} + \frac{1}{5^{3}} + \cdots = 1.2020569031...
$$
$\zeta(s)$는 리만 제타함수 입니다. 모든 양의 세제곱수 의 역수의 합입니다.
원래 무리수 인지 유리수 인지도 알려지지 않았던 수인데, 1978년 로저 아페리라는 사람이 무리수임을 증명하여 아페리 자신의 이름이 붙은 상수입니다.
$\zeta(3) = \frac{5}{2} \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \frac{(-1)^{n - 1}}{n^{3} {{2n}\choose{n}}}$ 라는 점을 이용해 무리수임을 증명합니다. ${{2n}\choose{n}}$은 중심 이항계수 입니다.
무리성 증명
-