자연수 집합 (Integer) $\mathbb{N}$ 은 집합론에서 다음과 같이 정의합니다.
$$ \mathbb{N} = \bigcap \left\{ I \ | \ (\emptyset \in I) \land \forall n(n \in I \Rightarrow n \cup \{n\} \in I)\right\} $$임의의 집합 $x$에 대하여 $x^{+}$라는 집합을 $x^+ = x \cup \{x\}$라 정의하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$ \mathbb{N} = \bigcap \left\{ I \ | \ (\emptyset \in I) \land \forall n(n \in I \Rightarrow n^{+} \in I)\right\} $$$0 := \emptyset$이라 정의하면 다음과 같은 페아노 공리계 (Peano’s Axioms) 가 성립합니다.
1. $\mathbb{N}$은 $0$이라는 원소를 갖는다.자연수에 $0$이 들어가는걸 싫어하는 분들을 위한 $1$부터 시작하는 페아노 공리계 입니다.
2. $\mathbb{N}$의 임의의 원소 $n$에 대하여 $n$의 (다음 수 / 후계) (Successor) $n^{+}$도 $\mathbb{N}$의 원소이다.
3. $0$이 다음 수인 원소는 $\mathbb{N}$에 존재하지 않는다.
4. $\mathbb{N}$의 두 원소가 같은 다음 수를 가지면, 두 원소는 같다.
5. $\mathbb{N}$의 부분집합 $S$가 $0 \in S$이고, 임의의 $n \in S$에 대하여 $n^{+} \in S$이면 $\mathbb{N} = S$이다. ( 수학적 귀납법 )
1. $\mathbb{N}$은 $1$이라는 원소를 갖는다.통상적으로 자연수 집합을 이용하여 정수 집합 $\mathbb{Z}$를 정의합니다.
2. $\mathbb{N}$의 임의의 원소 $n$에 대하여 $n$의 (다음 수 / 후계) (Successor) $n^{+}$도 $\mathbb{N}$의 원소이다.
3. $1$이 다음 수인 원소는 $\mathbb{N}$에 존재하지 않는다.
4. $\mathbb{N}$의 두 원소가 같은 다음 수를 가지면, 두 원소는 같다.
5. $\mathbb{N}$의 부분집합 $S$가 $1 \in S$이고, 임의의 $n \in S$에 대하여 $n^{+} \in S$이면 $\mathbb{N} = S$이다. ( 수학적 귀납법 )
$\mathbb{N}$의 정의?사실 이 두가지 공리로도 자연수를 정의하는게 충분해보입니다.
1. $\mathbb{N}$은 $0$이라는 원소를 갖는다.
2. $\mathbb{N}$의 임의의 원소 $n$에 대하여 $n$의 (다음 수 / 후계) (Successor) $n^{+}$도 $\mathbb{N}$의 원소이다.
$\mathbb{N}$의 정의??3가지 공리로도 충분하지 않은데, "$3^{+} = 3$인 (천장에 부딪치는) 집합" $\{ 0, 1, 2, 3 \}$는 위 3가지 공리에서 하나도 문제 되지 않습니다.
1. $\mathbb{N}$은 $0$이라는 원소를 갖는다.
2. $\mathbb{N}$의 임의의 원소 $n$에 대하여 $n$의 (다음 수 / 후계) (Successor) $n^{+}$도 $\mathbb{N}$의 원소이다.
3. $0$이 다음 수인 원소는 $\mathbb{N}$에 존재하지 않는다.
$\mathbb{N}$의 정의???4가지면 충분한 것 같은데, 다음과 같은 집합 $\mathbb{M}$은 4가지 공리를 만족합니다.
1. $\mathbb{N}$은 $0$이라는 원소를 갖는다.
2. $\mathbb{N}$의 임의의 원소 $n$에 대하여 $n$의 (다음 수 / 후계) (Successor) $n^{+}$도 $\mathbb{N}$의 원소이다.
3. $0$이 다음 수인 원소는 $\mathbb{N}$에 존재하지 않는다.
4. $\mathbb{N}$의 두 원소가 같은 다음 수를 가지면, 두 원소는 같다. ($n^{+} = m^{+}$이면 $n = m$)
$$ \mathbb{M} = \{ 0, \; 0.5, \; 1, \; 1.5, \; 2, \; 2.5, \; 3, \; 3.5, \; 4, \cdots \} $$심지어 4가지 공리를 만족하는 집합은 무수히 많습니다.
$$ \mathbb{M}_{1} = \{ 0, \; 0.1, \; 1, \; 1.1, \; 2, \; 2.1, \; 3, \; 3.1, \; 4, \cdots \} \\ \mathbb{M}_{2} = \{ 0, \; 0.2, \; 1, \; 1.2, \; 2, \; 2.2, \; 3, \; 3.2, \; 4, \cdots \} \\ \mathbb{M}_{3} = \{ 0, \; 0.3, \; 1, \; 1.3, \; 2, \; 2.3, \; 3, \; 3.3, \; 4, \cdots \} \\ \vdots $$그리하여 5번째 공리를 가져오게 됩니다.
$\mathbb{N}$의 정의5번째 공리에서 $0.1$, $0.2$ 같은 수가 낄 틈이 없습니다.
1. $\mathbb{N}$은 $0$이라는 원소를 갖는다.
2. $\mathbb{N}$의 임의의 원소 $n$에 대하여 $n$의 (다음 수 / 후계) (Successor) $n^{+}$도 $\mathbb{N}$의 원소이다.
3. $0$이 다음 수인 원소는 $\mathbb{N}$에 존재하지 않는다.
4. $\mathbb{N}$의 두 원소가 같은 다음 수를 가지면, 두 원소는 같다.
5. $\mathbb{N}$의 부분집합 $S$가 $0 \in S$이고, 임의의 $n \in S$에 대하여 $n^{+} \in S$이면 $\mathbb{N} = S$이다. ( 수학적 귀납법 )