자연수

자연수 집합 (Integer) $\mathbb{N}$ 은 페아노 공리계 (Peano's axioms)를 사용하면 다음과 같이 정의합니다.

1. $\mathbb{N}$은 $1$이라는 원소를 갖는다.
2. $\mathbb{N}$의 임의의 원소 $n$에 대하여 $n$의 (다음 수 / 후계) (Successor) $n^{+}$도 $\mathbb{N}$의 원소이다.
3. $1$이 다음 수인 원소는 $\mathbb{N}$에 존재하지 않는다.
4. $\mathbb{N}$의 두 원소가 같은 다음 수를 가지면, 두 원소는 같다.
5. $\mathbb{N}$의 부분집합 $S$가 $1 \in S$이고, 임의의 $n \in S$에 대하여 $n^{+} \in S$이면 $\mathbb{N} = S$이다. ( 수학적 귀납법 )
통상적으로 자연수 집합을 이용하여 정수 집합을 정의합니다.
$n$의 다음 수 $n^{+}$ 라는 것은 편의상 $n + 1$ 로 생각하면 쉽게 이해할 수 있습니다.
자연수 집합에 $0$을 쓰기도 하는데, 안쓰는 경우도 많기 때문에 필요한 경우라면 $0$이 있는지 없는지 이야기 해주어야 합니다. $\mathbb{N}_{0}$ 정도로 쓰면 $0$까지 있는 자연수 집합으로 이야기 할 수 있습니다.
혹은, 정수집합 $\mathbb{Z}$에 대하여 $\mathbb{Z}^{+}$로 쓰면 양(+)의 정수 (~= 자연수 집합) 이라는 뜻이기도 합니다.
$0$을 $\mathbb{N}$의 원소로 인정한다면 페아노 공리계는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
1. $\mathbb{N}$은 $0$이라는 원소를 갖는다.
2. $\mathbb{N}$의 임의의 원소 $n$에 대하여 $n$의 (다음 수 / 후계) (Successor) $n^{+}$도 $\mathbb{N}$의 원소이다.
3. $0$이 다음 수인 원소는 $\mathbb{N}$에 존재하지 않는다.
4. $\mathbb{N}$의 두 원소가 같은 다음 수를 가지면, 두 원소는 같다.
5. $\mathbb{N}$의 부분집합 $S$가 $0 \in S$이고, 임의의 $n \in S$에 대하여 $n^{+} \in S$이면 $\mathbb{N} = S$이다. ( 수학적 귀납법 )
--> 이 이후로는 편의상 $0$에서 시작하는 공리계 를 사용합니다.
$\mathbb{N}$의 정의?
1. $\mathbb{N}$은 $0$이라는 원소를 갖는다.
2. $\mathbb{N}$의 임의의 원소 $n$에 대하여 $n$의 (다음 수 / 후계) (Successor) $n^{+}$도 $\mathbb{N}$의 원소이다.
사실 이 두가지 공리로도 자연수를 정의하는게 충분해보입니다.
그럴 경우에는 "$3$의 다음수가 $0$인 집합"인 $\{ 0, 1, 2, 3 \}$을 $\mathbb{N}$이라 할 수 있는 상황이 됩니다.
따라서 3번 공리가 필요하게 됩니다.
$\mathbb{N}$의 정의??
1. $\mathbb{N}$은 $0$이라는 원소를 갖는다.
2. $\mathbb{N}$의 임의의 원소 $n$에 대하여 $n$의 (다음 수 / 후계) (Successor) $n^{+}$도 $\mathbb{N}$의 원소이다.
3. $0$이 다음 수인 원소는 $\mathbb{N}$에 존재하지 않는다.
3가지 공리로도 충분하지 않은데, "$3^{+} = 3$인 (천장에 부딪치는) 집합" $\{ 0, 1, 2, 3 \}$는 위 3가지 공리에서 하나도 문제 되지 않습니다.
이런 수 체계가 $\mathbb{N}$이라 할 수는 없겠습니다.
따라서 4번 공리를 가져다줍니다.
$\mathbb{N}$의 정의???
1. $\mathbb{N}$은 $0$이라는 원소를 갖는다.
2. $\mathbb{N}$의 임의의 원소 $n$에 대하여 $n$의 (다음 수 / 후계) (Successor) $n^{+}$도 $\mathbb{N}$의 원소이다.
3. $0$이 다음 수인 원소는 $\mathbb{N}$에 존재하지 않는다.
4. $\mathbb{N}$의 두 원소가 같은 다음 수를 가지면, 두 원소는 같다. ($n^{+} = m^{+}$이면 $n = m$)
4가지면 충분한 것 같은데, 다음과 같은 집합 $\mathbb{M}$은 4가지 공리를 만족합니다.
$$ \mathbb{M} = \{ 0, \; 0.5, \; 1, \; 1.5, \; 2, \; 2.5, \; 3, \; 3.5, \; 4, \cdots \} $$
심지어 4가지 공리를 만족하는 집합은 무수히 많습니다.
$$ \mathbb{M}_{1} = \{ 0, \; 0.1, \; 1, \; 1.1, \; 2, \; 2.1, \; 3, \; 3.1, \; 4, \cdots \} \\ \mathbb{M}_{2} = \{ 0, \; 0.2, \; 1, \; 1.2, \; 2, \; 2.2, \; 3, \; 3.2, \; 4, \cdots \} \\ \mathbb{M}_{3} = \{ 0, \; 0.3, \; 1, \; 1.3, \; 2, \; 2.3, \; 3, \; 3.3, \; 4, \cdots \} \\ \vdots $$
그리하여 5번째 공리를 가져오게 됩니다.
$\mathbb{N}$의 정의
1. $\mathbb{N}$은 $0$이라는 원소를 갖는다.
2. $\mathbb{N}$의 임의의 원소 $n$에 대하여 $n$의 (다음 수 / 후계) (Successor) $n^{+}$도 $\mathbb{N}$의 원소이다.
3. $0$이 다음 수인 원소는 $\mathbb{N}$에 존재하지 않는다.
4. $\mathbb{N}$의 두 원소가 같은 다음 수를 가지면, 두 원소는 같다.
5. $\mathbb{N}$의 부분집합 $S$가 $0 \in S$이고, 임의의 $n \in S$에 대하여 $n^{+} \in S$이면 $\mathbb{N} = S$이다. ( 수학적 귀납법 )
5번째 공리에서 $1.1$, $1.2$ 같은 수가 낄 틈이 없습니다.
첫 4가지의 공리를 가지고 만들어지는 모든 집합 $\mathbb{S}$에서 만들 수 있는 부분집합 $S$가 $S = \{ 1, 2, 3, 4, 5, \cdots \}$일 텐데, $S$가 $\mathbb{N}$과 같기 때문입니다. (= $S$가 $\mathbb{N}$이다.)
$\mathbb{N}$의 정의에서 알 수 있는 연산은 다음수 연산인 $n^{+}$ 밖에 없습니다.
하지만 다음수 연산 하나만으로도 자연수의 덧셈과 곱셈 을 정의할 수 있게 됩니다.
$\mathbb{N}$의 정의를 말하고 이런 집합이 존재한다고 공리로만 따졌습니다.
다음과 같이 정의하면 $\mathbb{N}$의 존재성을 밝힐 수 있습니다.
$\mathbb{N}$의 정의
1. $0 := \emptyset$
2. $n^{+} := n \cup \left\{ n \right\}$
3. $\emptyset \in \mathbb{A}$, $n \in \mathbb{A} \Rightarrow n^{+} \in \mathbb{A}$를 만족시키는 모든 집합 $\mathbb{A}$의 교집합을 $\mathbb{N}$이라 한다.
공집합, 합집합, 교집합만 가지고 자연수 체계를 완성했습니다.
3번에서 교집합이라 한 것은 위에서 소개한 $\mathbb{A}_{1} = \{ 0, \; 0.1, \; 1, \; 1.1, \; 2, \; 2.1, \; 3, \; 3.1, \; 4, \cdots \}$ 같은 사례가 있기 때문입니다.
이렇게 정의하면 위의 페아노 공리계를 증명 할 수 있게 됩니다.