자연수

II-eugene-II Note

자연수

자연수 집합 (Integer) $\mathbb{N}$ 은 집합론에서 다음과 같이 정의합니다.

$\mathbb{N} = \bigcap \left\{ I \ | \ (\emptyset \in I) \land \forall n(n \in I \Rightarrow n \cup \{n\} \in I)\right\}$

임의의 집합

$x$ 에 대하여

$x^{+}$ 라는 집합을

$x^+ = x \cup \{x\}$ 라 정의하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$\mathbb{N} = \bigcap \left\{ I \ | \ (\emptyset \in I) \land \forall n(n \in I \Rightarrow n^{+} \in I)\right\}$

$0 := \emptyset$ 이라 정의하면 다음과 같은 페아노 공리계 (Peano’s Axioms) 가 성립합니다.

1. $\mathbb{N}$ 은 $0$ 이라는 원소를 갖는다.
2. $\mathbb{N}$ 의 임의의 원소 $n$ 에 대하여 $n$ 의 (다음 수 / 후계) (Successor) $n^{+}$ 도 $\mathbb{N}$ 의 원소이다.
3. $0$ 이 다음 수인 원소는 $\mathbb{N}$ 에 존재하지 않는다.
4. $\mathbb{N}$ 의 두 원소가 같은 다음 수를 가지면, 두 원소는 같다.
5. $\mathbb{N}$ 의 부분집합 $S$ 가 $0 \in S$ 이고, 임의의 $n \in S$ 에 대하여 $n^{+} \in S$ 이면 $\mathbb{N} = S$ 이다. ( 수학적 귀납법 )

자연수에

$0$ 이 들어가는걸 싫어하는 분들을 위한

$1$ 부터 시작하는 페아노 공리계 입니다.

1. $\mathbb{N}$ 은 $1$ 이라는 원소를 갖는다.
2. $\mathbb{N}$ 의 임의의 원소 $n$ 에 대하여 $n$ 의 (다음 수 / 후계) (Successor) $n^{+}$ 도 $\mathbb{N}$ 의 원소이다.
3. $1$ 이 다음 수인 원소는 $\mathbb{N}$ 에 존재하지 않는다.
4. $\mathbb{N}$ 의 두 원소가 같은 다음 수를 가지면, 두 원소는 같다.
5. $\mathbb{N}$ 의 부분집합 $S$ 가 $1 \in S$ 이고, 임의의 $n \in S$ 에 대하여 $n^{+} \in S$ 이면 $\mathbb{N} = S$ 이다. ( 수학적 귀납법 )

통상적으로 자연수 집합을 이용하여 정수 집합

$\mathbb{Z}$ 를 정의합니다.

$n$ 의 다음 수

$n^{+}$ 라는 것은 편의상

$n + 1$ 로 생각하면 쉽게 이해할 수 있습니다.

$\mathbb{N}$ 이

$1$ 부터 시작하는 자연수 집합으로 쓰는 경우도 많으니

$\mathbb{N}_{0}$ ,

$\mathbb{Z}_{\geq 0}$ 정도로 쓰면

$0$ 까지 있는 자연수 집합으로 이야기 할 수 있습니다.
혹은,

$\mathbb{Z}^{+}$ 로 쓰면 양(+)의 정수 (~= 자연수 집합) 이라는 뜻이기도 합니다.
이 이후로는 편의상

$\mathbb{N}$ 은

$0$ 에서 시작하는 자연수 집합으로 사용합니다.

증명가능한 것을 공리라고 할 필요가 없는데, 자연수 집합의 정의인

$\mathbb{N} = \bigcap \left\{ I \ | \ (\emptyset \in I) \land \forall n(n \in I \Rightarrow n \cup \{n\} \in I)\right\}$ 가 페아노 공리계를 만족하므로 사실 페아노 공리계는 공리라고 할 것이 없습니다.
그러나 암묵적으로 페아노 공리계로 부르는 것은 자연수 집합의 엄밀한 정의보다 페아노 공리계가 먼저 나왔기 때문입니다.
엄밀한 정의 이전에 어떠한 흐름으로 공리 5개가 탄생했는지 그 흐름을 알 수 있습니다.

$\mathbb{N}$ 의 정의?
1. $\mathbb{N}$ 은 $0$ 이라는 원소를 갖는다.
2. $\mathbb{N}$ 의 임의의 원소 $n$ 에 대하여 $n$ 의 (다음 수 / 후계) (Successor) $n^{+}$ 도 $\mathbb{N}$ 의 원소이다.

사실 이 두가지 공리로도 자연수를 정의하는게 충분해보입니다.
그럴 경우에는 "

$3$ 의 다음수가

$0$ 인 집합"인

$\{ 0, 1, 2, 3 \}$ 을

$\mathbb{N}$ 이라 할 수 있는 상황이 됩니다.
따라서 3번 공리가 필요하게 됩니다.

$\mathbb{N}$ 의 정의??
1. $\mathbb{N}$ 은 $0$ 이라는 원소를 갖는다.
2. $\mathbb{N}$ 의 임의의 원소 $n$ 에 대하여 $n$ 의 (다음 수 / 후계) (Successor) $n^{+}$ 도 $\mathbb{N}$ 의 원소이다.
3. $0$ 이 다음 수인 원소는 $\mathbb{N}$ 에 존재하지 않는다.

3가지 공리로도 충분하지 않은데, "

$3^{+} = 3$ 인 (천장에 부딪치는) 집합"

$\{ 0, 1, 2, 3 \}$ 는 위 3가지 공리에서 하나도 문제 되지 않습니다.
이런 수 체계가

$\mathbb{N}$ 이라 할 수는 없겠습니다.
따라서 4번 공리를 가져다줍니다.

$\mathbb{N}$ 의 정의???
1. $\mathbb{N}$ 은 $0$ 이라는 원소를 갖는다.
2. $\mathbb{N}$ 의 임의의 원소 $n$ 에 대하여 $n$ 의 (다음 수 / 후계) (Successor) $n^{+}$ 도 $\mathbb{N}$ 의 원소이다.
3. $0$ 이 다음 수인 원소는 $\mathbb{N}$ 에 존재하지 않는다.
4. $\mathbb{N}$ 의 두 원소가 같은 다음 수를 가지면, 두 원소는 같다. ( $n^{+} = m^{+}$ 이면 $n = m$ )

4가지면 충분한 것 같은데, 다음과 같은 집합

$\mathbb{M}$ 은 4가지 공리를 만족합니다.

$\mathbb{M} = \{ 0, \; 0.5, \; 1, \; 1.5, \; 2, \; 2.5, \; 3, \; 3.5, \; 4, \cdots \}$

심지어 4가지 공리를 만족하는 집합은 무수히 많습니다.

$\mathbb{M}_{1} = \{ 0, \; 0.1, \; 1, \; 1.1, \; 2, \; 2.1, \; 3, \; 3.1, \; 4, \cdots \} \\ \mathbb{M}_{2} = \{ 0, \; 0.2, \; 1, \; 1.2, \; 2, \; 2.2, \; 3, \; 3.2, \; 4, \cdots \} \\ \mathbb{M}_{3} = \{ 0, \; 0.3, \; 1, \; 1.3, \; 2, \; 2.3, \; 3, \; 3.3, \; 4, \cdots \} \\ \vdots$

그리하여 5번째 공리를 가져오게 됩니다.

$\mathbb{N}$ 의 정의
1. $\mathbb{N}$ 은 $0$ 이라는 원소를 갖는다.
2. $\mathbb{N}$ 의 임의의 원소 $n$ 에 대하여 $n$ 의 (다음 수 / 후계) (Successor) $n^{+}$ 도 $\mathbb{N}$ 의 원소이다.
3. $0$ 이 다음 수인 원소는 $\mathbb{N}$ 에 존재하지 않는다.
4. $\mathbb{N}$ 의 두 원소가 같은 다음 수를 가지면, 두 원소는 같다.
5. $\mathbb{N}$ 의 부분집합 $S$ 가 $0 \in S$ 이고, 임의의 $n \in S$ 에 대하여 $n^{+} \in S$ 이면 $\mathbb{N} = S$ 이다. ( 수학적 귀납법 )

5번째 공리에서

$0.1$ ,

$0.2$ 같은 수가 낄 틈이 없습니다.
첫 4가지의 공리를 가지고 만들어지는 모든 집합

$\mathbb{S}$ 에서 만들 수 있는 부분집합

$S$ 가

$S = \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, \cdots \}$ 일 텐데, 그

$S$ 가 바로

$\mathbb{N}$ 이기 때문입니다.

$\mathbb{N}$ 의 정의에서 알 수 있는 연산은 다음수 연산인

$n^{+}$ 밖에 없습니다.
하지만 다음수 연산 하나만으로도 자연수의 덧셈 을 정의할 수 있게 됩니다.