자연수

자연수 집합 (Integer) $\mathbb{N}$ 은 페아노 공리계 (Peano's axioms)를 사용하면 다음과 같이 정의합니다.

1. $\mathbb{N}$은 $1$이라는 원소를 갖는다.
2. $\mathbb{N}$의 임의의 원소 $n$에 대하여 $n$의 (다음 수 / 후계) (Successor) $n^{+}$도 $\mathbb{N}$의 원소이다.
3. $1$이 다음 수인 원소는 $\mathbb{N}$에 존재하지 않는다.
4. $\mathbb{N}$의 두 원소가 같은 다음 수를 가지면, 두 원소는 같다.
5. $\mathbb{N}$의 부분집합 $S$가 $1 \in S$이고, 임의의 $n \in S$에 대하여 $n^{+} \in S$이면 $\mathbb{N} = S$이다. ( 수학적 귀납법 )
통상적으로 자연수 집합을 이용하여 정수 집합을 정의합니다.
$n$의 다음 수 $n^{+}$ 라는 것은 편의상 $n + 1$ 로 생각하면 쉽게 이해할 수 있습니다.
자연수 집합에 $0$을 쓰기도 하는데, 안쓰는 경우도 많기 때문에 필요한 경우라면 $0$이 있는지 없는지 이야기 해주어야 합니다. $\mathbb{N}_{0}$ 정도로 쓰면 $0$까지 있는 자연수 집합으로 이야기 할 수 있습니다.
혹은, 정수집합 $\mathbb{Z}$에 대하여 $\mathbb{Z}^{+}$로 쓰면 양(+)의 정수 (~= 자연수 집합) 이라는 뜻이기도 합니다.
$0$을 $\mathbb{N}$의 원소로 인정한다면 페아노 공리계는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
1. $\mathbb{N}$은 $0$이라는 원소를 갖는다.
2. $\mathbb{N}$의 임의의 원소 $n$에 대하여 $n$의 (다음 수 / 후계) (Successor) $n^{+}$도 $\mathbb{N}$의 원소이다.
3. $0$이 다음 수인 원소는 $\mathbb{N}$에 존재하지 않는다.
4. $\mathbb{N}$의 두 원소가 같은 다음 수를 가지면, 두 원소는 같다.
5. $\mathbb{N}$의 부분집합 $S$가 $0 \in S$이고, 임의의 $n \in S$에 대하여 $n^{+} \in S$이면 $\mathbb{N} = S$이다. ( 수학적 귀납법 )

위 정의에서 $2$, $3$, $4$, $5$ 같은 것은 정의하지 않았습니다.
$9 = 0^{+++++++++}$ 같이 작성하는 참사를 막기 위해서 다음과 같은 십진법 체계 (Decimal System) 를 정의해줍니다.
십진법 체계 (Decimal System)
(0. $1 := 0^{+}$)
1. $2 := 1^{+}$
2. $3 := 2^{+}$
3. $4 := 3^{+}$
4. $5 := 4^{+}$
5. $6 := 5^{+}$
6. $7 := 6^{+}$
7. $8 := 7^{+}$
8. $9 := 8^{+}$
9. $T := 9^{+}$ (임시 정의)
$T$. $a_{n} \not= 0$ 인 임의의 문자열 $a_{n}a_{n - 1} \cdots a_{0}$에 대하여, $$ a_{n}a_{n - 1} \cdots a_{0} := \sum_{i = 0}^{n} a_{i} \times T^{i} $$ 이다.
$x := y$는 $x$를 $y$로 정의한다는 뜻입니다.
$T$번 정의에 따라 $T$를 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$T = 10$ 증명

$10 = \sum\limits_{i = 0}^{1} a_{i} \times T^{i} = 0 \times T^{0} + 1 \times T^{1} = T$
따라서 $T = 10$이다.


이 이후로는 편의상 첫번째 페아노 공리계 ($1$로 시작하는 공리계) 를 사용합니다.
$\mathbb{N}$의 정의?
1. $\mathbb{N}$은 $1$이라는 원소를 갖는다.
2. $\mathbb{N}$의 임의의 원소 $n$에 대하여 $n$의 (다음 수 / 후계) (Successor) $n^{+}$도 $\mathbb{N}$의 원소이다.
사실 이 두가지 공리로도 자연수를 정의하는게 충분해보입니다.
그럴 경우에는 "$3$의 다음수가 $1$인 집합"인 $\{ 1, 2, 3 \}$을 $\mathbb{N}$이라 할 수 있는 상황이 됩니다.
따라서 3번 공리가 필요하게 됩니다.
$\mathbb{N}$의 정의??
1. $\mathbb{N}$은 $1$이라는 원소를 갖는다.
2. $\mathbb{N}$의 임의의 원소 $n$에 대하여 $n$의 (다음 수 / 후계) (Successor) $n^{+}$도 $\mathbb{N}$의 원소이다.
3. $1$이 다음 수인 원소는 $\mathbb{N}$에 존재하지 않는다.
3가지 공리로도 충분하지 않은데, "$3^{+} = 3$인 집합" $\{ 1, 2, 3 \}$는 위 3가지 공리에서 하나도 문제 되지 않습니다.
천장에 부딪치는 이런 수 체계가 $\mathbb{N}$이라 할 수는 없겠습니다.
따라서 4번 공리를 가져다줍니다.
$\mathbb{N}$의 정의???
1. $\mathbb{N}$은 $1$이라는 원소를 갖는다.
2. $\mathbb{N}$의 임의의 원소 $n$에 대하여 $n$의 (다음 수 / 후계) (Successor) $n^{+}$도 $\mathbb{N}$의 원소이다.
3. $1$이 다음 수인 원소는 $\mathbb{N}$에 존재하지 않는다.
4. $\mathbb{N}$의 두 원소가 같은 다음 수를 가지면, 두 원소는 같다. ($n^{+} = m^{+}$이면 $n = m$)
4가지면 충분한 것 같은데, 다음과 같은 집합 $\mathbb{M}$은 4가지 공리를 만족합니다.
$$ \mathbb{M} = \{ 1, \; 1.5, \; 2, \; 2.5, \; 3, \; 3.5, \; 4, \cdots \} $$
심지어 4가지 공리를 만족하는 집합은 무수히 많습니다.
$$ \mathbb{M}_{1} = \{ 1, \; 1.1, \; 2, \; 2.1, \; 3, \; 3.1, \; 4, \cdots \} \\ \mathbb{M}_{2} = \{ 1, \; 1.2, \; 2, \; 2.2, \; 3, \; 3.2, \; 4, \cdots \} \\ \mathbb{M}_{3} = \{ 1, \; 1.3, \; 2, \; 2.3, \; 3, \; 3.3, \; 4, \cdots \} \\ \vdots $$
그리하여 5번째 공리를 가져오게 됩니다.
$\mathbb{N}$의 정의
1. $\mathbb{N}$은 $1$이라는 원소를 갖는다.
2. $\mathbb{N}$의 임의의 원소 $n$에 대하여 $n$의 (다음 수 / 후계) (Successor) $n^{+}$도 $\mathbb{N}$의 원소이다.
3. $1$이 다음 수인 원소는 $\mathbb{N}$에 존재하지 않는다.
4. $\mathbb{N}$의 두 원소가 같은 다음 수를 가지면, 두 원소는 같다.
5. $\mathbb{N}$의 부분집합 $S$가 $1 \in S$이고, 임의의 $n \in S$에 대하여 $n^{+} \in S$이면 $\mathbb{N} = S$이다. ( 수학적 귀납법 )
5번째 공리에서 $1.1$, $1.2$ 같은 수가 낄 틈이 없습니다.
첫 4가지의 공리를 가지고 만들어지는 모든 집합 $\mathbb{S}$에서 만들 수 있는 부분집합 $S$가 $S = \{ 1, 2, 3, 4, 5, \cdots \}$일 텐데, $S$가 $\mathbb{N}$과 같기 때문입니다. (= $S$가 $\mathbb{N}$이다.)