소수 계량 함수
소수 계량 함수 (Prime-Counting Function) 는 다음과 같이 나타냅니다.
어떤 실수 $x$이하의 모든 소수 의 개수를
$$
\pi(x)
$$
라 나타낸다.
원주율 $\pi$ 와는 딱히 큰 상관이 없고 그냥 함수의 이름일 뿐입니다.
$n$번째 소수 $p_{n}$에 대하여 $\pi(p_{n}) = n$, $p_{\pi(n)} = n$이므로, 일종의 (엄밀하진 않지만) 역함수 관계를 갖는다고도 할 수 있습니다. ($p_{\pi(n)} = n$는 $n$이 소수일 때만 성립)
모든 자연수 $n$에 대하여 $\pi(2 n) - \pi(n) \geq 1$이라는 베르트랑의 공준 이 알려져 있습니다.
리만 제타함수 와도 관련이 있는데, 다음이 성립합니다.
$$
\ln \zeta(s) = s \int_{2}^{\infty} \frac{\pi(x)}{x (x^{s} - 1)} dx
$$
$\ln x$는 자연로그함수 입니다.
제 1종 체비셰프 함수 $\vartheta(x)$에 대해 $\pi(x) = \frac{\vartheta(x)}{\ln x} + \int_{2}^{x} \frac{\vartheta(t)}{\ t \ln^{2}(t) }\ \mathrm{d} t$ 가 성립합니다.
소수 계량 함수의 근사에 대하여 다음과 같은 유명한 정리가 알려져있습니다.
소수 정리 (Prime Number Theorem)
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x) \ln x}{x} = 1 $$
요즘에는 이 소수 정리를 로그 적분 함수 를 사용하여 $$ \lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{{\rm Li}(x)} = 1 $$ 로 표기하기도 합니다.
처음으로 $\pi(x) > {\rm li} (x)$가 되는 가장 작은 자연수를 스큐스 수 라고 합니다.
리틀우드의 정리 에 따라, $\lvert \pi(x) - \operatorname{li}(x) \rvert$의 오차항의 차수가 $\frac{1}{2}$보다 낮아질 수 없음이 알려져있습니다.