팩토리얼

팩토리얼 (Factorial) 은 $0$을 포함하는 자연수 범위 ($0$, $1$, $2$, $3$, $\cdots$) 에서 다음과 같이 정의합니다.

$$ n! = \begin{cases} n \times (n - 1)! & \mbox{ if } n > 0 \\ 1 & \mbox{ if } n = 0 \end{cases} $$

비슷하게 다른 재귀적 정의를 쓸 수도 있습니다.

1. $0! := 1$
2. $n^{+}! := n! \times n^{+}$

$n^{+}$은 $n + 1$과 같은 연산입니다.
편의상 수식대신, $n!$은 $n$부터 $1$까지 곱한 값이라고 생각하면 더 편합니다. ($n = 0$인 경우에는 $1$의 값을 가짐)
위의 재귀적인 정의 대신 곱셈 기호를 표기해서 정의하면 다음과 같습니다.

$$ n! = \prod_{k = 1}^{n} k $$

조합론적으로는 서로 다른 $n$개를 뽑아서 줄을 세우는 경우의 수와 동일합니다.
팩토리얼을 실수 전체로 확장 시킨 함수를 감마함수 라고 합니다.
팩토리얼 값은 $1$, $1$, $2$, $6$, $24$, $120$, $720$, $5040$, $40320$, $362880$, $3628800$...으로 급박하게 증가하는데, 팩토리얼 값을 빠르게 근사하는 방법으로 스털링 근사 가 존재합니다.

팩토리얼 값 0번째 항부터 25번째 항까지 보기

항 번호	$n$번째 항
$0$	$1$
$1$	$1$
$2$	$2$
$3$	$6$
$4$	$24$
$5$	$120$
$6$	$720$
$7$	$5040$
$8$	$40320$
$9$	$362880$
$10$	$3628800$
$11$	$39916800$
$12$	$479001600$
$13$	$6227020800$
$14$	$87178291200$
$15$	$1307674368000$
$16$	$20922789888000$
$17$	$355687428096000$
$18$	$6402373705728000$
$19$	$121645100408832000$
$20$	$2432902008176640000$
$21$	$51090942171709440000$
$22$	$1124000727777607680000$
$23$	$25852016738884976640000$
$24$	$620448401733239439360000$
$25$	$ $ $15511210043330985984000000$ $ $

르장드르 공식 에 의해 $n!$의 뒤에 붙는 $0$의 개수는 $\sum\limits_{i = 1}^{\infty} \left\lfloor \dfrac{n}{5^{i}} \right\rfloor$ 라는 것이 알려져있습니다.
약간의 변형으로 이중계승 이라는 개념과 다중계승 , 상승계승 / 하강계승 라는 개념도 존재합니다.
$L = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{10^{n!}}$을 리우빌 상수 라 하는데, 초월수 임이 증명되었습니다.
$(p - 1)! \equiv -1 \pmod{p} \Leftrightarrow p \in \mathbb{P}$ 라는 윌슨의 정리 도 있습니다. ($\mathbb{P}$는 소수 집합 표기)
$n! - 1$, $n! + 1$꼴의 소수를 계승 소수 라고 합니다.