팩토리얼

II-eugene-II Note

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팩토리얼

팩토리얼 (Factorial) 은 $0$ 을 포함하는 자연수 범위 ( $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $\cdots$ ) 에서 다음과 같이 정의합니다.

$n! = \begin{cases} n \times (n - 1)! & \mbox{ if } n > 0 \\ 1 & \mbox{ if } n = 0 \end{cases}$

비슷하게 다른 재귀적 정의를 쓸 수도 있습니다.

1. $0! := 1$
2. $n^{+}! := n! \times n^{+}$

$n^{+}$ 은

$n + 1$ 과 같은 연산입니다.
편의상 수식대신,

$n!$ 은

$n$ 부터

$1$ 까지 곱한 값이라고 생각하면 더 편합니다. (

$n = 0$ 인 경우에는

$1$ 의 값을 가짐)
위의 재귀적인 정의 대신 곱셈 기호를 표기해서 정의하면 다음과 같습니다.

$n! = \prod_{k = 1}^{n} k$

조합론적으로는 서로 다른

$n$ 개를 뽑아서 줄을 세우는 경우의 수와 동일합니다.
팩토리얼을 실수 전체로 확장 시킨 함수를 감마함수 라고 합니다.
팩토리얼 값은

$1$ ,

$2$ ,

$6$ ,

$24$ ,

$120$ ,

$720$ ,

$5040$ ,

$40320$ ,

$362880$ ,

$3628800$ ...으로 급박하게 증가하는데, 팩토리얼 값을 빠르게 근사하는 방법으로 스털링 근사 가 존재합니다.

팩토리얼 값 0번째 항부터 25번째 항까지 보기

$n!$ 의 뒤에 붙는

$0$ 의 개수는

$\sum\limits_{i = 1}^{\infty} \left\lfloor \dfrac{n}{5^{i}} \right\rfloor$ 라는 것이 알려져있습니다.
약간의 변형으로 이중계승 이라는 개념과 다중계승 , 상승계승 / 하강계승 라는 개념도 존재합니다.

$L = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{10^{n!}}$ 을 리우빌 상수 라 하는데, 초월수 임이 증명되었습니다.

$(p - 1)! \equiv -1 \pmod{p} \Leftrightarrow p \in \mathbb{P}$ 라는 윌슨의 정리 도 있습니다. (

$\mathbb{P}$ 는 소수 집합 표기)

$n! - 1$ ,

$n! + 1$ 꼴의 소수를 계승 소수 라고 합니다.