사인함수

사인함수 (Sine Function) $\sin{x}$는 다음과 같이 정의합니다.

$$ \sin x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(-1)}^{n}}{(2n + 1)!} x^{2n + 1} $$
$n!$은 팩토리얼 표기입니다.
이렇게 거듭제곱급수 꼴로 정의하면 기하학적인 정의를 대체할 수 있습니다.
급수의 수렴성 증명

멱급수 수렴반지름 이용
연속 하는 것도 보일 것

코사인함수 $\cos x$, 탄젠트함수 $\tan x$ 와 같은 삼각함수이며, 특히 코사인함수는 평행이동하면 얻을 수 있습니다.
꼭 평행이동 하지 않더라도 코사인함수를 얻을 수 있는데, 위의 정의에서 우변을 미분하면 $\sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{{(-1)}^{n}}{(2n)!} x^{2n}$인데, 이는 코사인함수의 정의와 동일하므로, $\sin x$를 미분하면 $\cos x$가 됩니다.
또, 삼각함수의 미분 에 의해서 $\cos x$를 미분하면 $- \sin x$입니다.

삼각함수의 덧셈정리
모든 실수 $x$, $y$에 대해 $$ \sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $$
위의 정의에서 얻을 수 있는 삼각함수의 덧셈정리 입니다. 사인함수와 코사인함수를 기하적으로 정의한다면 덧셈정리 -> 미분 순서로 공부하게 되고, 거듭제곱급수로 정의하게 되면 미분 -> 덧셈정리 순서로 공부하게 됩니다.
덧셈정리와 비슷한 삼각함수 항등식 이 존재합니다.
4번 미분할 때마다 다시 원래 함수로 돌아오는 특이한 주기를 가집니다.
무한곱으로 나타내면, 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
$$ \sin z = z \prod_{n = 1}^\infty \left( 1 - \frac{z^{2}}{{\pi}^2 n^2} \right) $$
무한곱 표현 증명

$\prod\limits_{n = 1}^\infty \left( 1 - \dfrac{z^2}{{\pi}^2 n^2} \right)$가 수렴하는걸 우선 보이기

$\pi$는 원주율 $\pi$ 입니다.
무한곱 표현을 이용하여 바젤 문제 를 증명하기도 합니다.
사인함수의 역수인 함수로 코시컨트함수 $\csc x$가 존재합니다.
사인함수의 역함수로 아크사인함수 가 있습니다.
사인함수를 $x$로 나눈 함수로 싱크함수 가 있습니다.
오일러 공식 을 이용하여 $\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$라고 할 수 있습니다. $i$는 허수 단위 $i$ 입니다.

삼각함수 계열 함수 모음입니다.

삼각함수 계열