사인함수

II-eugene-II Note

Home Math Code

사인함수

사인함수 (Sine Function) $\sin{x}$ 는 다음과 같이 정의합니다.

$\sin x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(-1)}^{n}}{(2n + 1)!} x^{2n + 1}$

$n!$ 은 팩토리얼 표기입니다.
이렇게 거듭제곱급수 꼴로 정의하면 기하학적인 정의를 대체할 수 있습니다.

~~급수의 수렴성 증명~~

멱급수 수렴반지름 이용
연속 하는 것도 보일 것

코사인함수

$\cos x$ , 탄젠트함수

$\tan x$ 와 같은 삼각함수이며, 특히 코사인함수는 평행이동하면 얻을 수 있습니다.
꼭 평행이동 하지 않더라도 코사인함수를 얻을 수 있는데, 위의 정의에서 우변을 미분하면

$\sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{{(-1)}^{n}}{(2n)!} x^{2n}$ 인데, 이는 코사인함수의 정의와 동일하므로,

$\sin x$ 를 미분하면

$\cos x$ 가 됩니다.
또, 삼각함수의 미분 에 의해서

$\cos x$ 를 미분하면

$- \sin x$ 입니다.

삼각함수의 덧셈정리
모든 실수 $x$ , $y$ 에 대해 $\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$

위의 정의에서 얻을 수 있는 삼각함수의 덧셈정리 입니다. 사인함수와 코사인함수를 기하적으로 정의한다면 덧셈정리 -> 미분 순서로 공부하게 되고, 거듭제곱급수로 정의하게 되면 미분 -> 덧셈정리 순서로 공부하게 됩니다.
덧셈정리와 비슷한 삼각함수 항등식 이 존재합니다.
4번 미분할 때마다 다시 원래 함수로 돌아오는 특이한 주기를 가집니다.
무한곱으로 나타내면, 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.