아크사인함수 $\arcsin x$는 다음과 같이 정의합니다.
$$ \sin y = x $$ 인 $y$값 ($-1 \leq x \leq 1$)즉, 사인함수 의 역함수 입니다.
아크사인함수의 미분 $$ \frac{{\rm d}}{{\rm d}x} \arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} $$
역함수의 미분법 이용, $f(x) = \sin x$, $g(x) = \arcsin x$, $f(g(x)) = x$
$$
\frac{{\rm d}}{{\rm d}x} \arcsin x = g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))} = \frac{1}{\cos \left(\arcsin x\right)}
$$
이다.
이때, 삼각함수 항등식 에서 $\sin^{2} t + \cos^{2} t = 1$ 이므로, $\cos^{2} t = 1 - \sin^{2} t$이고, $\cos t = \sqrt{1 - \sin^{2} t}$이다.
따라서
$$
\frac{1}{\cos \left(\arcsin x\right)} = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} \left(\arcsin x\right)}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \left(f\left(g(x) \right)\right)^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}
$$
이다.
삼각함수 계열 함수 모음입니다.
삼각함수 계열