거듭제곱급수

거듭제곱급수 (Power Series) 는 다음과 같은 급수 로 정의된 함수 $f(x)$ 꼴을 일컫는 말입니다.

$$ f(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n} $$

$f(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} a_{n} (x - x_{0})^{n}$으로 표기하는 경우도 있지만 어차피 $X = x - x_{0}$으로 치환하면 같은 이야기입니다.
$x = r$에서 수렴하면, $|x| < |r|$인 모든 실수 $x$에 대해서도 절대수렴합니다. 이 중 최대의 $r$을 수렴반지름이라고 부릅니다. ($|x|$는 절댓값 함수 )

수렴성 증명

수열 $\{a_{n} r^{n}\}$에 대하여 $\sum\limits_{n = 0}^{\infty} a_{n} r^{n}$이 수렴하면 $a_{n} r^{n}$은 유계이고, 따라서 모든 자연수 $n$에 대해 $|a_{n} r^{n}| \leq M$이 되게 하는 양의 실수 $M$이 존재한다.
$|x| < |r|$이면 $$ |a_{n} x^{n}| = |a_{n} r^{n}| {\left| \frac{x}{r} \right|}^{n} \leq M {\left| \frac{x}{r} \right|}^{n} $$ 이 성립한다.
이때, $\sum\limits_{n = 0}^{\infty} M {\left| \frac{x}{r} \right|}^{n}$은 $\left| \frac{x}{r} \right| < 1$인 등비급수이므로 수렴한다.
비교 판정법에 따라 $$ \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n} $$ 는 수렴한다.

사실 수렴한다만으로는 부족하지만, 연속이기도 하고, 미분도 가능하고, 심지어 $f$의 미분이 그냥 다항함수의 미분 을 쓴 것처럼 $f'(x) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} n a_{n} x^{n - 1}$인 것, 그 미분도 $|x| < |r|$에서 수렴한다는 것이 알려져있습니다.

~~미분가능성 증명~~

항별 미분까지 다 증명해야

사인함수 를 $\sin x = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{{(-1)}^{n}}{(2n + 1)!} x^{2n + 1}$ 같이 거듭제곱급수 꼴로 표기할 수 있습니다.
거듭제곱급수의 종류로 테일러 급수 , 로랑 급수 등이 있습니다.