코사인함수
코사인함수 (Cosine Function) $\cos{x}$는 다음과 같이 정의합니다.
$$
\cos x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(-1)}^{n}}{(2n)!} x^{2n}
$$
$n!$은 팩토리얼 표기입니다.
이렇게 거듭제곱급수 꼴로 정의하면 기하학적인 정의를 대체할 수 있습니다.
급수의 수렴성 증명
멱급수 수렴반지름 이용
코사인함수를 이용해 원주율 $\pi$ 를 정의하기도 하는데, $\pi$를 $\cos{\frac{\pi}{2}} = 0$인 가장 작은 양의 실수 로 정의하기도 합니다.
삼각함수의 덧셈정리 에 의해 항등식 $\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$ 가 모든 실수 $x$, $y$에 대해 만족합니다.
위의 정의에서 우변을 미분하면 $\sum\limits_{n = 1}^{\infty} \frac{{(-1)}^{n}}{(2n - 1)!} x^{2n - 1}$인데, (상수항은 없어짐) $\sum\limits_{n = 1}^{\infty} \frac{{(-1)}^{n}}{(2n - 1)!} x^{2n - 1} = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{{(-1)}^{n + 1}}{(2n + 1)!} x^{2n + 1} = - \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{{(-1)}^{n}}{(2n + 1)!} x^{2n + 1}$이고, 이는 사인함수의 정의에 음수를 씌운 것과 동일하므로, $\cos x$를 미분하면 $- \sin x$가 됩니다.
또, 삼각함수의 미분 에 의해서 $\sin x$를 미분하면 $\cos x$입니다.
4번 미분할 때마다 다시 원래 함수로 돌아오는 특이한 주기를 가집니다.
코사인함수의 역수인 함수로 시컨트함수 $\sec x$가 존재합니다.
코사인함수의 역함수로 아크코사인함수 가 있습니다.
오일러 공식 을 이용하여 $\cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$라고 할 수 있습니다. $i$는 허수 단위 $i$ 입니다.
삼각함수 계열 함수 모음입니다.
삼각함수 계열