n!은 팩토리얼 표기입니다.
이렇게 거듭제곱급수 꼴로 정의하면 기하학적인 정의를 대체할 수 있습니다. 급수의 수렴성 증명
멱급수 수렴반지름 이용
사인함수 sinx, 탄젠트함수 tanx와는 같은 삼각함수이며, 특히 사인함수는 평행이동하면 얻을 수 있습니다.
코사인함수를 이용해 원주율 π 를 정의하기도 하는데, π를 cosπ2=0인 가장 작은 양의 실수 로 정의하기도 합니다. 삼각함수의 덧셈정리 에 의해 항등식 cos(x+y)=cosxcosy−sinxsiny 가 모든 실수 x, y에 대해 만족합니다.
위의 정의에서 우변을 미분하면 ∞∑n=1(−1)n(2n−1)!x2n−1인데, (상수항은 없어짐) ∞∑n=1(−1)n(2n−1)!x2n−1=∞∑n=0(−1)n+1(2n+1)!x2n+1=−∞∑n=0(−1)n(2n+1)!x2n+1이고, 이는 사인함수의 정의에 음수를 씌운 것과 동일하므로, cosx를 미분하면 −sinx가 됩니다.
또, 삼각함수의 미분 에 의해서 sinx를 미분하면 cosx입니다.
4번 미분할 때마다 다시 원래 함수로 돌아오는 특이한 주기를 가집니다.
코사인함수의 역수인 함수로 시컨트함수 secx가 존재합니다.
코사인함수의 역함수로 아크코사인함수 가 있습니다. 오일러 공식 을 이용하여 cosx=eix+e−ix2라고 할 수 있습니다. i는 허수 단위 i 입니다.