오일러 공식

오일러 공식 (Euler's Formula) 은 다음과 같습니다.

$$ e^{i x} = \cos x + i \sin x $$

$e$는 자연로그의 밑 $e$ , $i$는 허수 단위 $i$ , $\cos x$는 코사인함수 , $\sin x$는 사인함수 입니다.
사실상 복소 지수를 정의하는 공식이라고도 할 수 있습니다.
이렇게 정의를 한다고 해서 당위성이 아주 떨어지지는 않는데, 지수함수와 삼각함수의 테일러급수 전개로 보일 수 있습니다.

~~오일러 공식 증명~~

각 함수들의 정의를
$e^x = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} {\frac{1}{n!}}x^n$
$\sin x = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} {\frac{(-1)^n}{(2n)!}}x^{2n}$
$\cos x = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} {\frac{(-1)^n}{(2n + 1)!}}x^{2n + 1}$
$x$에 $ix$대입, $i^n$은 주기 4를 가짐

이 공식을 이용하면, 때, $e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi = -1$ 이라는 기묘한 공식이 성립하게 됩니다. $\pi$는 원주율 $\pi$ 로, $e$, $i$, $\pi$가 한데 모이는 공식입니다.
오일러 공식에서 드 무아브르 공식 도 파생됩니다.