다음과 같은 경우를 함수 $f(x)$가 $x = a$에서 연속(Continuous)이라고 합니다.
1. $f(a)$가 정의된다.엡실론 델타 논법으로 다음과 같이 정의하기도 합니다.
2. 함수의 극한 $\lim\limits_{x \to a} f(x)$이 존재한다.
3. $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$ 이다.
임의의 모든 양의 실수 $\epsilon$에 대하여, "$|x - a| < \delta$이면 $|f(x) - f(a)| < \epsilon$"를 만족시키는 양의 실수 $\delta$가 존재하면 $f(x)$는 $x = a$에서 연속이다.$f(x)$가 $x = a$에서 연속이 아니라면, $f(x)$는 $x = a$에서 불연속(Discontinuous)이라고 합니다.
$$ f_{1}(x) = \begin{cases} -1 & x < 0 \\ 0 & x = 0 \\ 1 & x > 0 \end{cases} $$$x = 0$일 때 연속인지를 판단하려 하는데, 엡실론-델타 논법에서 $a = 0$, $f(a) = 0$이고, $\epsilon = \frac{1}{2}$라 하면, "$|x| < \delta$이면 $|f(x)| < \frac{1}{2}$"를 만족시키는 양의 실수 $\delta$가 존재해야 하는데 그런 $\delta$는 존재하지 않습니다.