함수의 연속

II-eugene-II Note

함수의 연속

다음과 같은 경우를 함수 $f(x)$ 가 $x = a$ 에서 연속(Continuous)이라고 합니다.

1. $f(a)$ 가 정의된다.
2. 함수의 극한 $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ 이 존재한다.
3. $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$ 이다.

엡실론 델타 논법으로 다음과 같이 정의하기도 합니다.

임의의 모든 양의 실수 $\epsilon$ 에 대하여, " $|x - a| < \delta$ 이면 $|f(x) - f(a)| < \epsilon$ "를 만족시키는 양의 실수 $\delta$ 가 존재하면 $f(x)$ 는 $x = a$ 에서 연속이다.

$f(x)$ 가

$x = a$ 에서 연속이 아니라면,

$f(x)$ 는

$x = a$ 에서 불연속(Discontinuous)이라고 합니다.
특정 구간

$S$ 의 모든 실수

$s$ 에 대하여

$f(x)$ 가

$x = s$ 에서 연속이면,

$f(x)$ 는 "구간

$S$ 에서 연속"이라고 합니다.

다음과 같은 함수

$f_{1}(x)$ 를 상상해볼 수 있습니다.

$f_{1}(x) = \begin{cases} -1 & x < 0 \\ 0 & x = 0 \\ 1 & x > 0 \end{cases}$

$x = 0$ 일 때 연속인지를 판단하려 하는데, 엡실론-델타 논법에서

$a = 0$ ,

$f(a) = 0$ 이고,

$\epsilon = \frac{1}{2}$ 라 하면, "

$|x| < \delta$ 이면

$|f(x)| < \frac{1}{2}$ "를 만족시키는 양의 실수

$\delta$ 가 존재해야 하는데 그런

$\delta$ 는 존재하지 않습니다.
따라서

$f_{1}(x)$ 는

$x = 0$ 에서 불연속입니다.