다음과 같은 경우를 함수 f(x)가 x=a에서 연속(Continuous)이라고 합니다.
1. f(a)가 정의된다.엡실론 델타 논법으로 다음과 같이 정의하기도 합니다.
2. 함수의 극한 lim이 존재한다.
3. \lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a) 이다.
임의의 모든 양의 실수 \epsilon에 대하여, "|x - a| < \delta이면 |f(x) - f(a)| < \epsilon"를 만족시키는 양의 실수 \delta가 존재하면 f(x)는 x = a에서 연속이다.f(x)가 x = a에서 연속이 아니라면, f(x)는 x = a에서 불연속(Discontinuous)이라고 합니다.
f_{1}(x) = \begin{cases} -1 & x < 0 \\ 0 & x = 0 \\ 1 & x > 0 \end{cases}x = 0일 때 연속인지를 판단하려 하는데, 엡실론-델타 논법에서 a = 0, f(a) = 0이고, \epsilon = \frac{1}{2}라 하면, "|x| < \delta이면 |f(x)| < \frac{1}{2}"를 만족시키는 양의 실수 \delta가 존재해야 하는데 그런 \delta는 존재하지 않습니다.