$f(x) = e^{x}$로 두고, 도함수 의 정의에서 $$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} - e^{x}}{h} = \lim_{h \to 0} e^{x} \frac{e^{h} - 1}{h} = e^{x} \lim_{h \to 0} \frac{e^{h} - 1}{h} $$ 이고, $\lim\limits_{h \to 0} \frac{e^{h} - 1}{h} = 1$이므로 $e^{x}$의 미분은 $e^{x}$이다.

$f(x) = \ln x$로 두면, $g(x) = e^{x}$는 $f(x)$의 역함수이다. ($\ln x$는 자연로그함수 )
역함수의 미분법 에서 $f'(g(x))g'(x) = 1$이고, $f'(x) = \frac{1}{x}$이므로 $\frac{1}{e^{x}} g'(x) = 1$에서, $g'(x) = e^{x}$이다.
따라서, $e^{x}$의 미분은 $e^{x}$이다.

$e^{x} = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}$로 정의한다고 하자. ($n!$은 팩토리얼 표기)
$\sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} = 1 + \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}$에서, 우변을 미분하면 $\left(1 + \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} \right)' = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \frac{n x^{n - 1}}{n!} = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n - 1}}{(n - 1)!}$이다.
$$ \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n - 1}}{(n - 1)!} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} = e^{x} $$ 에서, $e^{x}$의 미분은 $e^{x}$이다.