소수 정리
소수 정리 (Prime Number Theorem) 의 내용은 다음과 같습니다.
소수 계량 함수 $\pi(x)$에 대해,
$$
\lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x) \ln x}{x} = 1
$$
이다.
$\ln{x}$는 자연로그함수 입니다.
근래에는 로그 적분 함수 ${\rm li} (x) = \int_{0}^{x} \frac{dt}{\ln t} \;$에 대하여 $\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{{\rm li} (x)} = 1$라고 표기하기도 합니다.
소수 정리는 19세기에 리만 제타함수 와 복소해석학을 이용해 증명되었고, 20세기에는 복소해석학을 이용하지 않고 초등적으로 증명되었습니다. (이 증명을 한 사람들은 필즈상을 타게 됩니다.)
소수 정리의 복소해석적 증명
체비셰프 함수 로 대신 증명
소수 정리의 초등적 증명
메르텐스의 제 1 정리 사용