로그 적분 함수

로그 적분 함수 (Logarithmic Integral Function) ${\rm li} (x)$는 다음과 같이 정의합니다.

$$ {\rm li} (x) = \int_{0}^{x} \frac{dt}{\ln t} $$

$\ln x$는 자연로그함수 입니다.
즉, $\ln{x}$의 역수를 적분한 함수입니다.
이렇게 정의하면 $x > 1$에서도 값이 나오기는 하지만 $x = 1$부근에서 이상적분을 해야한다는 점이 좀 기분나쁠 수 있으니 다음과 같이 정의할 수도 있습니다.

$$ {\rm Li} (x) = \int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln t} $$

두 정의는 거의 비슷하고, 대략 $1.05$ 정도의 차이밖에 나지 않습니다.
그냥 평범한 적분 같은데 함수의 이름까지 있는 것은, 정수론의 유명한 정리인 소수 정리 와 아주 밀접한 관련이 있는데, 다음과 같은 사실이 알려져 있기 때문입니다.

소수 정리 (Prime Number Theorem) $$ \lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{{\rm Li} (x)} = 1 $$

여기서 $\pi(x)$는 소수 계량 함수 입니다.
로그 적분 함수의 실근을 라마누잔-졸트너 상수 라 합니다.
로그 적분 함수와 비슷한 지수 적분 함수 ${\rm Ei} (x)$가 존재하는데, ${\rm Ei} (\ln x) = {\rm li} (x)$ 라는 관계식이 성립합니다.