베르트랑의 공준

베르트랑의 공준 (Bertrand's Postulate) 의 내용은 다음과 같습니다.

모든 자연수 $n$에 대하여, $n \leq p \leq 2n$인 소수 $p$가 하나 이상 존재한다.
소수 계량 함수 $\pi(x)$에 대하여 다음과 같이 이야기 할 수도 있습니다.
모든 자연수 $n$에 대하여 $\pi(2 n) - \pi(n) \geq 1$이다.
기존에는 $n$번째 소수 $p_{n}$은 $2^{2^{n}}$ 보다는 작다...정도만 알려져있었으나 베르트랑의 공준으로 $p_{n}$은 $2^{n}$보다 작다 라는 사실이 알려지게 되었습니다.
베르트랑의 공준을 약간씩 진화시킨 그런 정리들은 나왔지만, 어지간한 추측은 미해결 상태입니다.
예를 들어, $n^{2} \leq p \leq {(n + 1)}^{2}$인 소수 $p$ (연속된 두 제곱수 사이에 소수 $p$)가 하나 이상 존재한다는 르장드르의 추측 은 100년도 더 전에 나온 추측이지만 아직도 풀리지 않았습니다.
아주 큰 수 $n_0$에 대해 $n > n_0$인 모든 $n$에 대하여 $n^{3} \leq p \leq {(n + 1)}^{3}$인 소수 $p$가 하나 이상 존재한다는 Ingham의 증명이 있었지만, 모든 자연수로 확장하진 못했습니다.
베르트랑의 공준 증명

중심 이항계수 $\binom{2n}{n}$에 대하여, $\frac{4^{n}}{2n + 1} < \binom{2n}{n}$이다.

베르트랑 공준보다 더 강한 개념으로, 라마누잔 소수 가 있습니다. 여기에서는 $n \leq p \leq 2n$인 소수가 최소 몇 개 존재하는지를 이야기 합니다.