$n$번째 소수

$n$번째 소수 는 prime (영어로 소수) 의 머릿글자에서 따와서 통상적으로 다음과 같이 나타냅니다.

$n$번째 소수는 $$ p_{n} $$ 으로 나타낸다. (즉, $p_{1} = 2$, $p_{2} = 3$, $p_{3} = 5$, $\cdots$)
소수 계량 함수 $\pi(x)$에 대하여 $\pi\left(p_{n}\right) = n$이므로, 일종의 역함수(엄밀하진 않지만)라고 할 수 있습니다.
로서의 정리 에 따라 $p_{n} > n \ln{n}$임이 알려져 있습니다. $\ln n$은 자연로그함수 입니다.
현재 알려진 가장 강력한 범위는 다음과 같습니다.
$n \geq 2$일 때, $p_{n} > n \left( \ln{n} + \ln{\ln{n}} - 1 + \frac{\ln{\ln{n}} - 2}{\ln{n}} - \frac{{\left(\ln{\ln{n}}\right)}^{2} - 6 \ln{\ln{n}} + 10.667}{2 \ln^{2}{n}} \right)$
$n \geq 46254381$일 때, $p_{n} < n \left( \ln{n} + \ln{\ln{n}} - 1 + \frac{\ln{\ln{n}} - 2}{\ln{n}} - \frac{{\left(\ln{\ln{n}}\right)}^{2} - 6 \ln{\ln{n}} + 11.508}{2 \ln^{2}{n}} \right)$
(Christian Axler(2017), New estimates for the nth prime number)
적당한 범위의 상한과 하한은 $n \geq 6$일 때, $\ln n + \ln\ln n - 1 < \frac{p_{n}}{n} < \ln n + \ln\ln n$ 입니다.
기초적인 상한과 하한은 쉽게 구할 수 있습니다.
$n$번째 소수의 상한과 하한

통상적으로 초등적인 범위에서는 하한이 더 이해하기 쉽습니다.

$n$번째 소수의 하한

0. $\lim\limits_{n \to \infty} p_{n} = \infty$

$\lim\limits_{n \to \infty} p_{n} = \infty$

소수가 무한히 많다는 유클리드의 정리 에 의해 자명하다.

1. $p_{n} \geq n$이다.
$p_{n} \geq n$

2. $p_{n} \geq 2n - 1$이다.
$p_{n} \geq 2n - 1$

$n$번째 소수의 상한

1. $p_{n} \leq 2^{2^{n}}$이다.

$p_{n} \leq 2^{2^{n}}$

아주 큰 의미는 없지만 $n$이 주어지면 $p_{n}$을 구할 수 있는 월런스의 공식도 알려져있습니다.
또, 쌍둥이 소수 추측 과 관련 되어있는 것으로 다음이 알려져 있습니다.
${p_{n + 1}} - {p_{n}} < 246$인 자연수 $n$은 무수히 많다.
$p_{1}$부터 $p_{2}$, $p_{3}$...를 이어붙인 코플랜드 에르되시 상수 $C = 0.235711...$이 있는데, 초월수 임이 알려져있습니다.