로빈 부등식
로빈 부등식 (Robin's Inequality) 은 다음과 같습니다.
$$ \sigma(n) < e^{\gamma} n \ln{\ln{n}} $$
$\sigma(n)$은 약수의 합 함수 , $e$는 자연로그의 밑 $e$ , $\gamma$는 오일러-마스케로니 상수 , $\ln x$는 자연로그함수 입니다.
이 부등식이 이름까지 가지게 된 이유는, $n > 5040$인 모든 자연수 $n$에 대하여 로빈 부등식을 만족시키면 리만 가설 이 참이 되기 때문입니다. (로빈 부등식과 리만 가설은 동치 (Equivalent) 입니다.)
로빈 부등식 == 리만가설 증명
과정 중에 메르텐스의 제 2 정리 까지 사용
$$ \prod_{p < x} \left( \frac{p}{p - 1} \right) \leq e^{\gamma} \ln x \left( 1 + \frac{1}{2 {(\ln x)}^{2}}\right) $$ 보이기
$5040$이하의 반례는 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 48, 60, 72, 84, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 2520, 5040인데, 리만가설에 영향을 주지 않습니다.
절대적인 부등식도 있는데, $n > 2$이면 리만가설이고 뭐고 무조건 $\sigma(n) < e^{\gamma} n \ln{\ln{n}} + \frac{0.6483 n}{\ln{\ln{n}}}$이 성립합니다.
현재까지 알려진 것들로는 다음과 같은 것들이 있습니다.
1. 우선 $5040 < n < {10}^{\left( {10}^{10}\right)}$이면 로빈 부등식을 만족한다. (Briggs, Keith. "Abundant numbers and the Riemann hypothesis.." Experimental Mathematics 15.2 (2006): 251-256. < http://eudml.org/doc/226939 >.)
$\frac{\sigma(n)}{n}$이 갱신되는 초-과잉수 들에 대해서만 확인해보면 됩니다.
2. 모든 소수 $p$에 대하여 $p$진 값매김 $\nu_p (n)$이 $20$ 이하인 $n$은 로빈 부등식을 만족한다. (Axler, C. On Robin’s inequality. Ramanujan J (2022). https://doi.org/10.1007/s11139-022-00683-0)
2 - 1. 더 나아가, $\nu_2 (n) \leq 20$이기만 하면 로빈 부등식을 만족시킨다.