Riesz 함수

Riesz 함수 (Riesz Function) ${\rm Riesz}(x)$는 다음과 같이 정의합니다.

$$ {\rm Riesz}(x) = -\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(-x)^{k}}{(k - 1)! \zeta(2k)} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(-x)^{k + 1}}{\Gamma(k) \zeta(2k)} $$

$n!$은 팩토리얼 표기이고, $\zeta(s)$는 리만 제타함수 , $\Gamma(x)$는 감마함수 입니다.
다음과 같은 사실이 알려져 있습니다.

Riesz의 규준 (Riesz Criterion)
임의의 모든 양의 실수 $\epsilon$에 대해 $$ {\rm Riesz}(x) = O(x^{\frac{1}{4} + \epsilon}) $$ 이면, 리만 가설 이 참이다.

$O(f(n))$은 란다우 표기법 입니다.
즉, 리만 가설과도 관련이 있는 함수입니다.

~~Riesz Criterion == 리만가설 증명~~

리만 제타함수 값이 빠르게 1로 수렴한다는 사실을 생각해보면 제타 함수값을 1로 퉁친 값이 $\sum\limits_{k = 1}^\infty \frac{(-1)^{k + 1}}{(k - 1)!} x^{k} = x e^{-x}$ 라는 걸 생각해보면, 모든 $x$에 대해 수렴한다는 것은 쉽게 유추할 수 있습니다.

Riesz를 리스로 쓸 지 리즈로 쓸 지 고민했는데, Riesz Representation Theorem 이란 것을 리즈 표현 정리로 표기한 경우도 있고 리스 표현 정리로 표기한 경우도 있어 우선 한글 표기는 보류합니다.