어떤 함수 $f(x)$의 도함수 (derivative of $f$ ) $f'(x)$ 는 다음과 같이 정의합니다.
$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \lim_{t \to x} \frac{f(t) - f(x)}{t - x} $$이때, $f'(x)$는 "$f(x)$를 미분한 함수" 라고 합니다. (혹은 그냥 간단히 "함수 $f$의 미분")
바이어슈트라스 함수 (Weierstrass Function) $$ f(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a^{n} \cos (b^{n} \pi x) $$ ($b$는 양의 홀수, $a$는 $0 < a < 1$, $ab \geq 1 + \frac{3 \pi}{2}$)
셀레리에 함수 (Cellérier's Function) $$ C(x) = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{a^{k}} \sin (a^{k} x)\, \quad (a > 1) $$위 2개의 함수는 실수 전체에서 연속 이지만, 실수 전체에서 미분 불가능 한 충격적인 함수입니다.