함수의 극한
다음과 같은 경우를 함수의 극한이 존재한다고 합니다.
임의의 양의 실수 $\epsilon$에 대하여, $0 < |x - c| < \delta$이면 무조건 $|f(x) - L| < \epsilon$이 되게 하는 양의 실수 $\delta$가 존재할 때,
$$ \lim_{x \to c} f(x) = L $$
이라 하고, "함수 $f(x)$의 $a$에서의 극한값"을 $L$ 이라 한다.
$|x|$는 절댓값 함수 입니다.
수열의 수렴 과도 거의 비슷한데, $n$이 자연수 였던 것과 달리 $x$는 실수이기 때문에 $\delta$ 조건이 추가로 붙습니다.
흔히 엡실론-델타 논법으로 불리는 수렴의 정의입니다.
$f(c)$값도 잘 정의되어 $\lim\limits_{x \to c} f(x) = f(c)$라면 $f(x)$는 $x = c$에서 연속 이라고 합니다.
함수 $g(x) = \frac{f(x) - f(c)}{x - c}$에 대하여 $\lim\limits_{x \to c} g(x) = \lim\limits_{x \to c} \frac{f(x) - f(c)}{x - c}$의 값이 존재하면 $x = c$에서 $f(x)$가 미분 가능 하다고 합니다.