평균 변화율 $\frac{g(x)h(x) - g(c)h(c)}{x - c}$의 분자에 $0 = -g(x)h(c) + g(x)h(c)$를 더하면 $$\frac{g(x)h(x) - g(c)h(c)}{x - c} = \frac{g(x)h(x) - g(x)h(c) + g(x)h(c) - g(c)h(c)}{x - c}$$ 이다.
식을 정리해주면 $$\frac{g(x)h(x) - g(x)h(c) + g(x)h(c) - g(c)h(c)}{x - c} = g(x) \left( \frac{h(x) - h(c)}{x - c} \right) + h(c) \left( \frac{g(x) - g(c)}{x - c} \right)$$ 이다.
도함수 의 정의에 따라 두 함수가 $x = c$에서 미분가능하면 $f ' (c) = g(c) h '(c) + g '(c) h(c)$이다.