미분 의 연쇄법칙 (합성함수의 미분 / Chain Rule) 은 다음과 같습니다.
두 미분 가능한 함수 $g(x)$, $f(x)$에 대하여 $g(f(x))$가 잘 정의되는 구간에서 $$ \left( g(f(x)) \right)' = g '(f(x)) f'(x) $$ 이다.
함수 $d(y)$를 $d(y) = \frac{g(y) - g(f(c))}{y - f(c)}$라 하자. $d(f(c)) = g'(f(c))$라 하면 $d(y)$는 $y = f(c)$에서 연속이다.
$d(y) = \frac{g(y) - g(f(c))}{y - f(c)}$에서 $g(y) - g(f(c)) = d(y)(y - f(c))$라고 할 수 있고, 이는 $f(c)$근방의 모든 $y$에 대해서 가능하므로 $y = f(t)$를 대입할 수 있다.
따라서 $g(f(t)) - g(f(c)) = d(f(t))(f(t) - f(c))$이고, 양 변을 $t - c$로 나누어 $\frac{g(f(t)) - g(f(c))}{t - c} = d(f(t)) \frac{f(t) - f(c)}{t - c}$로 할 수 있고, $t \to c$의 극한을 취한다.