Divisor Summatory Function

Divisor Summatory Function $D(x)$ 는 정수론 함수로, 다음과 같이 정의합니다.

$$ D(x) = \sum_{n \leq x} d(n) = \sum_{j, k \atop jk \leq x} 1 $$
$d(n)$은 약수의 개수 함수 로, 약수 함수 에서 $a = 0$인 경우입니다.
$D(x)$를 구하는 공식은 다음과 같이 알려져있습니다. ($x$는 편의상 자연수 로)
$$ D(x) = \sum_{k = 1}^{x} \left\lfloor \frac{x}{k} \right\rfloor = 2 \left( \sum_{k = 1}^{\lfloor \sqrt{x} \rfloor} \left\lfloor \frac{x}{k} \right\rfloor \right) - { \left( \lfloor \sqrt{x} \rfloor \right) }^{2} $$
$\lfloor x \rfloor$는 최대 정수 함수 입니다.
해당 관계식 증명

뫼비우스 반전 등 이용

또, 다음과 같은 점근 공식이 알려져있습니다.
$$ D(x) = \sum_{n \leq x} d(n) = x \ln x + (2 \gamma - 1) x + O\left( x^{\theta} \right) $$
$\ln x$는 자연로그함수 , $\gamma$는 오일러-마스케로니 상수 , $O(f(x))$는 란다우 표기법 입니다.
$\theta = \frac{1}{2}$로 둘 수 있는 것은 쉽게 보일 수 있으며, 최소 $\frac{1}{4}$ 이상, 최대 $\frac{131}{416}$ 이하인 것으로 알려져있습니다. $\theta$값이 얼마인지에 대한 문제를 Dirichlet Divisor Problem 라고 합니다.
$\theta \leq \frac{1}{2}$ 증명

$D(x) = 2 \left( \sum\limits_{k = 1}^{\lfloor \sqrt{x} \rfloor} \left\lfloor \frac{x}{k} \right\rfloor \right) - { \left( \lfloor \sqrt{x} \rfloor \right) }^{2}$에서, $2 \left( \sum\limits_{k \leq \sqrt{x}} \left( \frac{x}{k} + O(1) \right) \right) - {( \sqrt{x} - \{\sqrt{x}\} )}^{2}$이용하여 조화수 의 점근식 사용 ($\{ x \}$는 분수 부분 함수 )

어지간하면 한글 표기를 하는 편인데 "약수의 연속합 함수", "약수의 총계 함수"라는 말도 애매하고, "약수의 개수 함수의 합 함수"도 영 이상해서 적당한 표기법을 찾을때 까지는 한글 제목은 보류합니다.
비슷한 이유로 Totient Summatory Function 도 한글 이름을 붙이지 않았습니다.