약수의 합 함수

약수의 합 함수 (Sum of Divisor Function) 는 정수론 함수로, 다음과 같이 정의합니다.

$$ \sigma(n) = \sigma_{1}(n) = \sum_{d \mid n} d $$

$d \mid n$은 $n$이 $d$로 나누어떨어진다 는 뜻입니다.
즉, $n$의 모든 약수 의 합을 $\sigma(n)$으로 표기합니다.
약수 함수 에서 $a = 1$인 경우입니다.
또, 다음이 성립합니다.

모든 소수 의 집합 $p \in \mathbb{P}$에서 $$ n = \prod_{p} p^{n_{p}} \, \left( n_{p} \geq 0 \right) $$ 이라 하면, $$ \sigma(n) = \prod_{p} \frac{p^{n_{p} + 1}}{p - 1} $$ 이다.

정의에 따라서 당연히 $1 + n \leq \sigma(n)$이고, 등호는 $n$이 소수 일 때만 성립하게 됩니다.
하한이 있으면 상한도 있어야 하는데, $n > 2$이면 $\sigma(n) < e^{\gamma} n \ln{\ln{n}} + \frac{0.6483 n}{\ln{\ln{n}}}$ 이라는 사실이 알려져있습니다. $e$는 자연로그의 밑 $e$ , $\gamma$는 오일러-마스케로니 상수 , $\ln x$는 자연로그함수 입니다.
$n > 5040$일 때, $\sigma(n) < e^{\gamma} n \ln{\ln{n}}$이면 정말 뜬금없이 리만 가설 이 참이 되는데, 이를 로빈 부등식 이라 합니다.
또 특수한 성질로는 다음이 성립합니다.

$$ \tau(n) = n^{4} \sigma(n) - 24 \sum_{i = 1}^{n - 1} i^{2} (35 i^{2} - 52 i n + 18 n^{2}) \sigma(i) \sigma(n - i) $$

$\tau(n)$은 라마누잔 타우 함수 입니다.