메르텐스의 제 2 정리 (Mertens' Second Theorem) 의 내용은 다음과 같습니다.
$$ \lim_{n \to \infty}\left(-\ln\ln n+\sum_{p < n} \frac{1}{p} \right) = O(1) $$$\ln{n}$는 자연로그함수 이고, $\ln \ln n$은 자연로그함수를 두 번 합성한 함수입니다. $O(1)$은 란다우 표기법 입니다.
$P(x) = \sum\limits_{p < x} \frac{\ln p}{p}$, $Q(x) = P(x) - \ln{x}$라 하면 메르텐스의 제 1 정리 에서 $- 1 - 2 \ln{2} < Q(x) < 1 + 2 \ln{2}$임을 보였다.
따라서 $\int_{2}^{x} \frac{Q(t)}{t \ln^{2}t} dt$는 $\int_{2}^{x} \frac{1}{t \ln^{2}t} dt = \frac{1}{\ln{2}} - \frac{1}{\ln{x}}$에서 수렴한다.
아벨의 합 공식 사용