초-과잉수

II-eugene-II Note

초-과잉수

초-과잉수 (SuperAbundant Number) 의 정의는 다음과 같습니다.

자연수 $n$ 에 대하여, $m < n$ 인 모든 자연수 $m$ 에 대해 $\frac{\sigma(m)}{m} < \frac{\sigma(n)}{n}$ (즉, $I(m) > I(n)$ ) 인 자연수 $n$ 을 초-과잉수라고 한다.

$\sigma(n)$ 은 약수의 합 함수 이고,

$I(n)$ 은 풍요 지수 (Abundancy Index) 입니다.
그냥 과잉수 의 적당한 변형인듯 한데, 실제로는 리만 가설 과도 연관이 있습니다.

$n > 5040$ 인 모든

$n$ 에 대하여 로빈 부등식

$\frac{\sigma(n)}{n} < e^{\gamma} \ln{\ln{n}}$ 을 만족하면, 리만가설이 참이기 때문입니다. 로빈 부등식의 반례가 있다면 그 수는 초-과잉수 입니다.
그 중에서도

$\frac{\sigma(n)}{n}$ 이 최고점을 갱신하는 초-과잉수들에 대하여 검사해주기만 하면 되기때문에, 실제로 이 방법으로

$10^{10^{10}}$ 보다 작은 반례는 없음이 알려졌습니다. (엄밀히 따지면 초-과잉수가 될 수 있는 후보에 대해서 검증했습니다.)
또, 모든 초-과잉수는 고도과잉수 입니다.
OEIS에 수열 A004394로 등록되어있습니다.

원래 그냥 "초과잉수"라고 적으려 했는데, 띄어읽기를 자꾸 초과 잉수로 하게 되어서 부득이하게 초-를 붙였습니다.