로서의 정리

II-eugene-II Note

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로서의 정리

로서의 정리 (Rosser's Theorem) 의 내용은 다음과 같습니다.

모든 자연수 $n$ 에 대하여, $n$ 번째 소수 $p_{n}$ 은 $n \ln{n}$ 보다 크다. 즉, $p_{n} > n \ln{n}$ 이다.

$\ln n$ 은 자연로그함수 이고,

$p_{1} = 2$ 로 합니다.

$n$ 이하의 소수 의 개수는 대략적으로

$\frac{n}{\ln{n}}$ 이라는 것은 소수 정리 에 의해 알려져 있었고,

$p_n$ 은

$n \ln{n}$ 과 거의 비슷한 수준이다...정도는 알려져있었지만, 로서의 정리로

$p_n$ 은

$n \ln{n}$ 보다 약간 크다 라는게 알려지게 되었습니다.
증명은

$n > 1071$ 이상은 온갖 리만 제타함수 의 성질을 다 섞어서 증명하고,

$n \leq 1071$ 의 경우에는 직접 일일이

$p_{n} > n \ln{n}$ 을 보입니다.
로서의 정리가 나온 1939년에서 60년이 지난 1999년에는 Dusart라는 분이

$p_{n} > n (\ln{n} + \ln{\ln{n}} - 1)$ 이라는 것을 증명했습니다.

$\ln{\ln{n}} > 1$ 이 되는

$n > e^{e}$ (대략

$n > 15$ )일 때는 더 강력한 범위입니다.