로서의 정리
로서의 정리 (Rosser's Theorem) 의 내용은 다음과 같습니다.
모든 자연수 $n$에 대하여, $n$번째 소수 $p_{n}$은 $n \ln{n}$보다 크다. 즉,
$$
p_{n} > n \ln{n}
$$
이다.
$\ln n$은 자연로그함수 이고, $p_{1} = 2$로 합니다.
$n$ 이하의 소수 의 개수는 대략적으로 $\frac{n}{\ln{n}}$이라는 것은 소수 정리 에 의해 알려져 있었고, $p_n$은 $n \ln{n}$과 거의 비슷한 수준이다...정도는 알려져있었지만, 로서의 정리로 $p_n$은 $n \ln{n}$보다 약간 크다 라는게 알려지게 되었습니다.
증명은 $n > 1071$ 이상은 온갖 리만 제타함수 의 성질을 다 섞어서 증명하고, $n \leq 1071$의 경우에는 직접 일일이 $p_{n} > n \ln{n}$을 보입니다.
로서의 정리가 나온 1939년에서 60년이 지난 1999년에는 Dusart라는 분이 $p_{n} > n (\ln{n} + \ln{\ln{n}} - 1)$이라는 것을 증명했습니다.
$\ln{\ln{n}} > 1$이 되는 $n > e^{e}$ (대략 $n > 15$)일 때는 더 강력한 범위입니다.