유클리드의 정리

II-eugene-II Note

유클리드의 정리

유클리드의 정리 (Euclid’s Theorem) 의 내용은 다음과 같습니다.

소수 의 집합 $\mathbb P$ 의 크기는 무한하다.

유클리드의 정리 증명

(증명의 스케치)
소수가 유한하게 있다고 치고, $q = 1 + \prod\limits_{p \in \mathbb P} p$ 라 하자. ( $\mathbb P$ 는 모든 소수들의 집합)
모든 소수 $p$ 에 대해 $q$ 와 $p$ 는 서로소 이고, $q > \max \mathbb P$ 이므로, $1$ 보다 크고 $q$ 보다 작은 약수가 존재하지 않으므로 $q$ 는 소수이다.
이렇게 되면 모든 소수들의 집합이라는 가정에 모순이 생긴다.

나중에 이 정리는 굉장히 확장되어,

$n$ 번째 소수 가 로그 적분 함수

${\rm Li} (n)$ 에 근접한다는 소수 정리 에 다다릅니다.