상승계승 (Rising Factorial) 은 다음과 같이 정의합니다.
$$ x^{\overline n} = x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1) = \frac{(x+n-1)!}{(x-1)!} = \frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)} $$하강계승 (Falling Factorial) 은 다음과 같이 정의합니다.
$$ x^{\underline n} = x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1) = \frac{x!}{(x-n)!} = \frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-n+1)} $$팩토리얼 이나 감마함수 의 굉장히 특수한 확장으로 볼 수 있습니다.