상승계승 / 하강계승

상승계승 (Rising Factorial) 은 다음과 같이 정의합니다. ($x$는 실수 , $n$은 자연수 )

$$ x^{\overline n} = x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1) = \frac{(x+n-1)!}{(x-1)!} = \frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)} $$

하강계승 (Falling Factorial) 은 다음과 같이 정의합니다.

$$ x^{\underline n} = x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1) = \frac{x!}{(x-n)!} = \frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-n+1)} $$

포츠하머 기호 (Pochhammer Symbol) 라고도 표현합니다. (Knuth의 구체수학 (류광 역) 에서는 올림 / 내림 거듭제곱이라고도 합니다.)
상승계승부터 $x$부터 $1$씩 더해가면서 $n$번 곱하고, 하강계승은 반대로 $1$씩 빼가면서 $n$번 곱한다고 생각할 수 있습니다.
팩토리얼 이나 감마함수 의 굉장히 특수한 확장으로 볼 수 있습니다.
실제로 $n!$은 $n! = 1^{\overline n} = n^{\underline n}$이라고 할 수 있습니다.
$x^{p}$꼴의 미분을 쉽게 표기할 수도 있습니다.

$$ {\operatorname{d}^{n}\over\operatorname{d}\!x^{n}} x^{p} = p^{\underline n} x^{p - n} $$