이중계승

이중계승 (Double Factorial) $n!!$은 $-2$보다 큰 정수 범위($-1$, $0$, $1$, $2$, $3$, $\cdots$) $n$에 대해 다음과 같이 정의합니다.

$$ n!!= \begin{cases} n \times (n - 2)!! & \mbox{if }n > 0 \\ 1 & \mbox{if }-2 < n \leq 0 \end{cases} $$
팩토리얼 의 굉장히 특수한 확장으로 볼 수 있습니다.
팩토리얼과는 다음과 같은 관계를 가집니다.
팩토리얼 → 이중계승 $$ n! = n!! \times (n - 1)!! $$
팩토리얼 → 이중계승 증명

1. $n$이 홀수인 경우 ($n = 2p + 1$)
$$ \begin{align} n! & = \prod_{k = 1}^{n} k \\ & = \prod_{k = 1}^{2p + 1} k \\ & = \left(\prod_{k = 1}^{p + 1} (2k - 1) \right)\left( \prod_{k = 1}^{p} 2k \right) \\ & = (2p + 1)!! (2p)!! \\ & = n!! (n - 1)!! \end{align} $$ 2. $n$이 짝수인 경우 ($n = 2p$, $p > 0$) $$ \begin{align} n! & = \prod_{k = 1}^{n} k \\ & = \prod_{k = 1}^{2p} k \\ & = \left(\prod_{k = 1}^{p} 2k \right)\left( \prod_{k = 1}^{p} (2k - 1) \right) \\ & = (2p)!! (2p - 1)!! \\ & = n!! (n - 1)!! \end{align} $$ $n$이 $0$일 때는 직접 값을 대입해서 참임을 알 수 있다.

이중계승 → 팩토리얼 1 $$ (2n)!! = 2^n n! $$
이중계승 → 팩토리얼 1 증명

$$ \begin{align} (2n)!! & = \prod_{k = 1}^{n} 2k \\ & = 2^n \prod_{k = 1}^{n} k \\ & = 2^n n! \\ \end{align} $$

이중계승 → 팩토리얼 2 $$ (2n - 1)!! = \frac{(2n)!}{2^n n!} $$
이중계승 → 팩토리얼 2 증명

팩토리얼 → 이중계승에서 $n! = n!! \times (n - 1)!!$이므로 $(2n)! = (2n)!! \times (2n - 1)!!$이고, 이중계승 → 팩토리얼 1에서 $(2n)!! = 2^n n!$이므로 $$ \begin{align} (2n)! & = (2n)!! \times (2n - 1)!! \\ & = 2^n n! \times (2n - 1)!! \\ \end{align} $$ 이다. 따라서 $(2n - 1)!! = \frac{(2n)!}{2^n n!}$이다.

$\frac{(2n)!}{2^n n!}$에서 $\frac{(2n)!}{n!}$은 $\prod\limits_{k = n + 1}^{2n} k$와 동일하므로, 하강계승 을 사용하여 나타낼 수도 있습니다.
$$ (2n - 1)!! = \frac{(2n)^{\underline n}}{2^n} $$
여기서 더 확장을 한다면 다중계승 으로 확장할 수 있습니다.
일부 함수 등의 테일러 급수 표기에 사용됩니다. 예를 들어, 아크사인함수 는 $\arcsin x = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{(2n - 1)!!}{(2n)!! (2n + 1)} x^{2n + 1}$로 나타낼 수 있습니다. $x = 1$을 대입하면 $\arcsin 1 = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{(2n - 1)!!}{(2n)!! (2n + 1)} 1^{2n + 1} = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{(2n - 1)!!}{(2n)!! (2n + 1)} = \frac{\pi}{2}$임을 알 수 있습니다.