완비성 공리

완비성 공리 (Completeness Axiom) 은 다음과 같습니다.

공집합이 아니고 위로 유계 인 실수 집합의 부분집합은 항상 상한을 가진다.
유리수 에서는 완비성 공리가 성립하지 않습니다.
보통의 해석학 책의 시작부분에서는 증명이 필요없는 공리로 이를 그냥 쓰자고 하지만, 책의 후반부나 몇몇 책에서는 "실수"를 잘 정의해서 완비성 공리도 증명합니다.
예를 들어, 실수 를 다음과 같이 정의하면 완비성 공리를 증명할 수 있게 됩니다.
데데킨트 절단에 따른 실수의 정의

$\mathbb{Q}$의 모든 데데킨트 절단 을 모은 집합을 실수 $\mathbb{R}$이라 정의한다.
완비성 공리와 동치인 명제로는 축소구간성질 , 아르키메데스 성질 등이 있습니다.