유리수
유리수 (Rational Number) 는 다음과 같이 정의합니다.
두 정수 $n$, $m$ ($m \not= 0_{\mathbb{Z}}$)에 대하여 $[n // m] := \{ (n_{1}, m_{1}) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \ | \ n \times m_{1} = m \times n_{1}\}$을 유리수 라고 한다.
($(n_{1}, m_{1})$은 순서쌍 표기)
두 유리수의 같음
$$
n_1 \times m_2 = n_2 \times m_1
$$
이면 두 유리수 $[n_1 // m_1]$, $[n_2 // m_2]$가 같다고 한다.
이러한 유리수 $q$들의 집합을 이탈리아어 Quoziente에서 딴 $\mathbb{Q}$라고 표기하기도 합니다.
이런 기괴한 정의는 두 유리수의 같음을 보면 알 수 있습니다. $n_1 \times m_2 = n_2 \times m_1$에서 각 변을 $m_1 \times m_2$로 나눠준다면 (아직 나눗셈을 정의하지 않았지만) $\frac{n_1}{m_1} = \frac{n_2}{m_2}$임을 알 수 있습니다.
정수만을 이용해 나눗셈(의 원리와 방식)을 가져와 유리수를 정의한 것이라 보면 되겠습니다.
실수 중에서 유리수가 아닌 수는 무리수 라고 합니다.
$x$가 유리수이면 $f(x) = 1$, $x$가 무리수이면 $f(x) = 0$값을 갖는 함수인 디리클레 함수 도 존재합니다.
$\frac{X}{Y}$는 $\frac{(X + Y - 1)(X + Y - 2)}{2} + X$번째 분수라고 순서를 붙여주면, 정수의 크기와 유리수의 크기가 같음을 알 수 있습니다.