유리수

II-eugene-II Note

유리수

유리수 (Rational Number) 는 다음과 같이 정의합니다.

두 정수 $n$ , $m$ ( $m \not= 0_{\mathbb{Z}}$ )에 대하여 $[n // m] := \{ (n_{1}, m_{1}) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \ | \ n \times m_{1} = m \times n_{1}\}$ 을 유리수 라고 한다.
( $(n_{1}, m_{1})$ 은 순서쌍 표기)

두 유리수의 같음
$n_1 \times m_2 = n_2 \times m_1$ 이면 두 유리수 $[n_1 // m_1]$ , $[n_2 // m_2]$ 가 같다고 한다.

이러한 유리수

$q$ 들의 집합을 이탈리아어 Quoziente에서 딴

$\mathbb{Q}$ 라고 표기하기도 합니다.
이런 기괴한 정의는 두 유리수의 같음을 보면 알 수 있습니다.

$n_1 \times m_2 = n_2 \times m_1$ 에서 각 변을

$m_1 \times m_2$ 로 나눠준다면 (아직 나눗셈을 정의하지 않았지만)

$\frac{n_1}{m_1} = \frac{n_2}{m_2}$ 임을 알 수 있습니다.
정수만을 이용해 나눗셈(의 원리와 방식)을 가져와 유리수를 정의한 것이라 보면 되겠습니다.
실수 중에서 유리수가 아닌 수는 무리수 라고 합니다.

$x$ 가 유리수이면

$f(x) = 1$ ,

$x$ 가 무리수이면

$f(x) = 0$ 값을 갖는 함수인 디리클레 함수 도 존재합니다.

$\frac{X}{Y}$ 는

$\frac{(X + Y - 1)(X + Y - 2)}{2} + X$ 번째 분수라고 순서를 붙여주면, 정수의 크기와 유리수의 크기가 같음을 알 수 있습니다.