디리클레 함수

디리클레 함수 (Dirichlet Function) $1_{\mathbb Q}(x)$는 다음과 같이 정의합니다.

$$ 1_{\mathbb Q}(x) = \left[ x \in \mathbb Q \right] $$

$\left[ P \right]$는 아이버슨 괄호 , $\mathbb Q$는 유리수 집합의 표기입니다.
즉, 실수 $x$가 유리수이면 $1$의 값, 무리수 이면 $0$의 값을 갖는 함수입니다.
다음과 같이 극한을 활용한 정의를 할 수도 있습니다.

$$ 1_{\mathbb Q}(x) = \lim_{m \to \infty}\lim_{n \to \infty} \cos^{2n}(m! \pi x) $$

$\cos x$는 코사인함수 , $m!$은 팩토리얼 표기, $\pi$는 원주율 $\pi$ 입니다.
$x$가 유리수라면 $m! x$는 $m$이 커질 수록 장기적으로 정수 가 되므로 $1$의 값을 가지고, 무리수라면 어떤 $m$에 대해서도 $m! x$가 정수가 될 수 없고, 따라서 $-1$보다 크고 $1$보다 작은 어떤 값에서 떠돌게 되고, 이를 $2n$제곱하면 각각 1과 0에 수렴하게 됩니다.