디리클레 함수

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디리클레 함수

디리클레 함수 (Dirichlet Function) $1_{\mathbb Q}(x)$ 는 다음과 같이 정의합니다.

$1_{\mathbb Q}(x) = \left[ x \in \mathbb Q \right]$

$\left[ P \right]$ 는 아이버슨 괄호 ,

$\mathbb Q$ 는 유리수 집합의 표기입니다.
즉, 실수

$x$ 가 유리수이면

$1$ 의 값, 무리수 이면

$0$ 의 값을 갖는 함수입니다.
다음과 같이 극한을 활용한 정의를 할 수도 있습니다.

$1_{\mathbb Q}(x) = \lim_{m \to \infty}\lim_{n \to \infty} \cos^{2n}(m! \pi x)$

$m!$ 은 팩토리얼 표기,

$\pi$ 입니다.

$x$ 가 유리수라면

$m! x$ 는

$m$ 이 커질 수록 장기적으로 정수 가 되므로

$1$ 의 값을 가지고, 무리수라면 어떤

$m$ 에 대해서도

$m! x$ 가 정수가 될 수 없고, 따라서

$-1$ 보다 크고

$1$ 보다 작은 어떤 값에서 떠돌게 되고, 이를

$2n$ 제곱하면 각각 1과 0에 수렴하게 됩니다.