정수 (Integer) 는 다음과 같이 정의합니다.
두 자연수 $n$, $m$에 대하여 $[n, m] := \{ (n_{1}, m_{1}) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \ | \ n + m_{1} = m + n_{1}\}$을 정수 라고 한다.
($(n_{1}, m_{1})$은 순서쌍 표기)
두 정수의 같음
$$ n_1 + m_2 = n_2 + m_1 $$ 이면 두 정수 $[n_1, m_1]$, $[n_2, m_2]$가 같다. ($[n_1, m_1] = [n_2, m_2] \Leftrightarrow n_1 + m_2 = n_2 + m_1$)
$$
\begin{align}
[n_{1}, m_{1}] & = \{ (n, m) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \ | \ n_{1} + m = m_{1} + n \} \\
& = \{ (n, m) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \ | \ (n_{1} + m) + (n_{2} + m_{2}) = (m_{1} + n) + (n_{2} + m_{2}) \} \\
& = \{ (n, m) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \ | \ (n_{1} + m_{2}) + (n_{2} + m) = (n_{2} + m_{1}) + (m_{2} + n) \} \\
& = \{ (n, m) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \ | \ n_{2} + m = m_{2} + n \} \\
& = [n_{2}, m_{2}]
\end{align}
$$
$n_{1} + m = m_{1} + n$의 양변에 $(n_{2} + m_{2})$를 더해주고 $n_{1} + m_{2} = n_{2} + m_{1}$에서 식 $(n_{1} + m_{2}) + (n_{2} + m) = (n_{2} + m_{1}) + (m_{2} + n)$은 소거법칙으로 $n_{2} + m = m_{2} + n$가 되어 $[n_{2}, m_{2}]$의 정의가 된다는 것을 쉽게 알 수 있다.