야코비의 네 제곱수 정리
야코비의 네 제곱수 정리 (Jacobi's Four-Square Theorem) 는 다음과 같습니다.
제곱수의 합 함수 $r_{k} (n)$에 대하여
$$
r_{4}(n) = 8 \sum_{m \mid n ,\, 4 \nmid m} m
$$
이다.
$m \mid n$은 $m$이 $n$의 약수 임을 나타냅니다. $4 \nmid n$ 는 $m$이 $4$의 배수가 아님을 나타냅니다. ($4$가 $m$의 약수가 아님)
이때의 네 제곱수는 $a^{4}$를 말하는게 아닌, 제곱수 (square) 4개를 뜻합니다.
즉, 야코비의 네 제곱수 정리란, 임의의 자연수 $n$을 네 제곱수의 합으로 나타내는 방법은, $n$의 약수 중 4의 배수가 아닌 것들의 합과 동일하다는 정리입니다.
라그랑주의 네 제곱수 정리 가 "모든 자연수 는 네 제곱수의 합으로 나타낼 수 있다" 라는 정리였다면, 이 정리는 그 경우의 수가 몇개인지를 알아보는 정리입니다.
단, $(\pm 1, 0, 0, 0)$, $(0, \pm 1, 0, 0)$, $(0, 0, \pm 1, 0)$, $(0, 0, 0, \pm 1)$ 같이 꽤나 많이 세기 때문에 생각보다 수가 크다는 것을 알 수 있습니다.
통상적으로 야코비 세타 함수 를 이용하여 증명합니다.
야코비의 네 제곱수 정리 증명
야코비 세타 함수의 전체의 네 제곱을 이용해서...
$\theta(\tau) = \sum\limits_{n = - \infty}^{\infty} e^{\pi i n^{2} \tau}$, $x = e^{\pi i \tau}$로 두면
$$ {\theta(x)}^{4} = {\left(\sum_{n = - \infty}^{\infty} x^{n^{2}}\right)}^{4} = 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} r_{4}(n) x^{n} $$