제곱수의 합 함수

제곱수의 합 함수 (Sum of Squares Function) $r_{k}(n)$은 다음과 같이 정의합니다.

$$ r_{k}(n) = \left\vert \{ \left( a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k} \right) \in \mathbb{Z}^k \ : \ n = {a_{1}}^2 + {a_{2}}^2 + \cdots + {a_{k}}^2\} \right\vert $$
집합 표기로 써놓으니 굉장히 어렵게 보이는데, 양의 정수 $n$을 $k$개의 제곱수 의 합으로 나타내는 방식이 몇개가 있는지에 대한 함수입니다.
예를 들어, $r_{2}(2)$의 값은 ${(1)}^{2} + {(1)}^{2}$, ${(-1)}^{2} + {(1)}^{2}$, ${(1)}^{2} + {(-1)}^{2}$, ${(-1)}^{2} + {(-1)}^{2}$ 총 4가지에서 $r_{2}(2) = 4$ 입니다.
모든 양의 정수 $k$에 대하여 $r_{k}(0) = 1$인데, $k$개의 $0^2$의 합으로 표현하는 유일한 한 가지 방법이 있기 때문입니다. 비슷한 방법으로 $r_{k}(1) = 2k$입니다.
야코비의 네 제곱수 정리 등으로 특정 $k$값에 대한 $r_{k}(n)$의 명시적인 공식은 알려져 있습니다.
재귀적인 정의도 가능한데, 예를 들어 $$ r_{k_{1} + k_{2}}(n) = \sum\limits_{m = 0}^{n} r_{k_{1}}(m) r_{k_{2}}(n - m) $$ 입니다.
$m$을 $k_{1}$개의 제곱수의 합으로 나타내는 경우의 수와 $n - m$을 $k_{2}$개의 제곱수의 합으로 나타내는 경우의 수를 곱하면 $m + (n - m) = n$을 $k_{1} + k_{2}$ 개의 제곱수의 합으로 나타내는 경우의 수 중 일부이고, $m$을 $0$부터 $n$까지 다 더해주면서 $r_{k_{1} + k_{2}}(n)$ 값을 구할 수 있게 됩니다.
특히, $r_{1}(n)$의 값은 $n = 0$이면 $1$, $n$이 제곱수일 때는 $2$, 아닐 때는 $0$의 값을 가집니다. 이를 이용해주면 다음과 같은 재귀공식을 얻을 수 있습니다.
$$ r_{k + 1}(n) = r_{k}(n) + 2 \sum_{t = 1}^{\lfloor \sqrt{n} \rfloor} r_{k} \left( n - t^{2} \right) $$
재귀 공식 증명

증명의 스케치
$r_{1 + k}(n) = \sum\limits_{m = 0}^{n} r_{1}(m) r_{k}(n - m)$가 성립
$m = 0$이면 $r_{1}(m)$의 값이 $1$이므로, $r_{1 + k}(n) = r_{k}(n - 0) + \sum\limits_{m = 1}^{n} r_{1}(m) r_{k}(n - m)$이 성립
$m$이 제곱수 일 때만 $r_{1}(m) r_{k}(n - m)$의 값이 $0$이 아니므로, $n$ 이하의 모든 제곱수 $m = t^{2}$꼴에 대해서만 $r_{1}(m) r_{k}(n - m)$의 값을 구해주기만 해도 충분
$n$ 이하의 제곱수의 개수는 $\lfloor \sqrt{n} \rfloor$이고, $r_{1}(t^{2}) = 2$이므로 $$ r_{1 + k}(n) = r_{k}(n - 0) + \sum_{m = 1}^{n} r_{1}(m) r_{k}(n - m) = r_{k}(n) + 2 \sum_{t = 1}^{\lfloor \sqrt{n} \rfloor} r_{k} \left( n - t^{2} \right) $$

다음과 같은 상수 $K = \lim_{n \to \infty} \left( \left( \sum_{k = 1}^{n} \frac{r_{2}(k)}{k} \right) - \pi \ln{n} \right)$를 시에르핀스키 상수 라고 합니다. ($\pi$는 원주율 $\pi$ , $\ln x$는 자연로그함수 )