제곱수
제곱수의 정의는 다음과 같습니다.
양의 정수 를 제곱하여(두 번 곱하여) 얻을 수 있는 정수
(즉, $1^{2} = 1 \times 1 = 1$, $2^{2} = 2 \times 2 = 4$, $3^{2} = 3 \times 3 = 9$, $\cdots$)
홀수의 제곱은 홀수이고, 짝수의 제곱은 짝수입니다. (2에 대한 나머지에 대한 성질)
제곱수를 3으로 나눈 나머지는 0, 1 뿐이고, 4로 나눈 나머지도 0, 1 뿐이고, 8로 나눈 나머지도 0, 1, 4 뿐입니다.
4로 나눈 나머지도 0, 1 뿐이라는 성질은 페르마의 두 제곱수 정리 , 8로 나눈 나머지가 0, 1, 4 뿐이라는 성질은 르장드르의 세 제곱수 정리 에도 쓰입니다.
16으로 나눈 나머지는 0, 1, 4, 9 4개 뿐이고, 32로 나눈 나머지는 0, 1, 4, 9, 16, 17, 25 7개 뿐입니다. 어떤 수를 제곱수인지 판단하려면 먼저 16이나 32로 나눠보고 나머지가 맞다면 직접 판별하는 것도 나쁘지 않을 듯 합니다.
9로 나눈 나머지는 0, 1, 4, 7 4개 뿐이고, 따라서 자릿수를 전부 더한 Digital Root는 1, 4, 7, 9중에 하나여야 합니다.
라그랑주의 네 제곱수 정리 에 따라 모든 양의 정수는 네 개의 제곱수의 합으로 나타낼 수 있습니다.
또, 모든 제곱수의 약수는 홀수개이고, 반대로 약수가 홀수개인 모든 수는 제곱수입니다.
$d$가 $n$의 약수이면 $\frac{n}{d}$ 또한 약수이므로, 일반적으로 어떤 정수의 약수는 짝수개여야 하지만, $d = \frac{n}{d}$인 상태, 즉 $d^{2} = n$인 상태라면 짝이 맞지 않아 약수의 개수가 홀수가 됩니다.
제곱수의 역수의 합은 $\frac{{\pi}^{2}}{6}$이라는 사실이 알려져있는데, $\pi$는 원주율 $\pi$ 가 맞습니다.
두 번 곱한 수가 아닌 세 번 곱한 수는 세제곱수 라고 합니다.
두 개의 제곱수 사이에는 소수 가 $1$개 이상 존재할 것이라는 르장드르의 추측 이 존재합니다.