라그랑주의 네 제곱수 정리

라그랑주의 네 제곱수 정리 (Lagrange's Four-Square Theorem) 는 다음과 같습니다.

모든 자연수 $n$에 대하여 $$ n = a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} $$ 인 네 정수 $a$, $b$, $c$, $d$가 존재한다.
이때의 네 제곱수는 $a^{4}$를 말하는게 아닌, 제곱수 (square) 4개를 뜻합니다.
어떤 수 $A$와 $B$ 두 수가 네 제곱수의 합으로 표현가능하다면, 오일러의 네 제곱수 항등식 으로 $AB$가 네 제곱수의 합으로 표현가능하다는 것을 보일 수 있습니다.
따라서, 모든 수는 소수 이거나 합성수이거나 (혹은 $1 = 1^{2} + 0^{2} + 0^{2} + 0^{2}$ 이거나) 둘 중 하나밖에 없는데, 합성수는 소수의 곱이므로 모든 소수가 네 제곱수의 합으로 나타낼 수 있음을 보이면 증명할 수 있습니다.
라그랑주의 네 제곱수 정리 증명

모든 소수 $p$를 $a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}$ 로 나타낼 수 있음을 보이고 오일러의 네 제곱수 항등식으로...
추가로 $0 = 0^{2} + 0^{2} + 0^{2} + 0^{2}$, $1 = 1^{2} + 0^{2} + 0^{2} + 0^{2}$도 보여서 증명 완료하기

$n$을 네 정수 $a$, $b$, $c$, $d$의 제곱의 합으로 표현하는 "경우의 수"를 구하는 방법으로는 야코비의 네 제곱수 정리 가 있습니다.
이와 비슷한 페르마의 두 제곱수 정리 , 르장드르의 세 제곱수 정리 도 존재합니다.