세제곱수

II-eugene-II Note

세제곱수

세제곱수 (Cube) 의 정의는 다음과 같습니다.

정수 를 세제곱하여(세 번 곱하여) 얻을 수 있는 정수
(즉, $1^{3} = 1 \times 1 \times 1 = 1$ , $2^{3} = 2 \times 2 \times 2 = 8$ , $3^{3} = 3 \times 3 \times 3 = 27$ , $\cdots$ )

한자어로는 입방수라고도 부릅니다.
웨어링의 문제에 따라 모든 양의 정수는 최대

$9$ 개의 세제곱수의 합으로 나타낼 수 있습니다.
모든 세제곱수의 역수의 합

$\sum\limits_{k = 1}^{\infty} \dfrac{1}{k^{3}}$ 은 아페리 상수 라고 불리는데, 무리수 임이 밝혀져 있습니다.

모든 정수

$n$ 에 대하여

$n^3 \equiv -1 \pmod{9}$ 이거나

$n^3 \equiv 0 \pmod{9}$ 이거나

$n^3 \equiv 1 \pmod{9}$ 이므로,

$a^3 + b^3 + c^3 \not\equiv 4 \pmod{9}$ ,

$a^3 + b^3 + c^3 \not\equiv 5 \pmod{9}$ 를 만족시킵니다.
즉, 어떤 세 개의 세제곱수를 더한 값을

$9$ 로 나눈 나머지는

$4$ 나

$5$ 가 아닙니다.

$n \not\equiv 4 \pmod{9}$ ,

$n \not\equiv 5 \pmod{9}$ 인 모든 자연수

$n$ 에 대해

$n = a^3 + b^3 + c^3$ 꼴로 나타낼 수 있는지 묻는 문제를 Sums of three cubes 문제라고 하는데, 아직까지 풀리지 않았습니다.
2019년에서야

$n = 33$ 일 때의

$a$ ,

$b$ ,

$c$ 값을 찾을 수 있었고, 해법이 무려

$33 = {(-2736111468807040)}^3 + {(-8778405442862239)}^3 + {(8866128975287528)}^3$ 입니다.

세 번 곱한 수가 아닌 두 번 곱한 수는 제곱수 라고 합니다.