세제곱수
세제곱수 (Cube) 의 정의는 다음과 같습니다.
정수 를 세제곱하여(세 번 곱하여) 얻을 수 있는 정수
(즉, $1^{3} = 1 \times 1 \times 1 = 1$, $2^{3} = 2 \times 2 \times 2 = 8$, $3^{3} = 3 \times 3 \times 3 = 27$, $\cdots$)
한자어로는 입방수라고도 부릅니다.
웨어링의 문제에 따라 모든 양의 정수는 최대 $9$개의 세제곱수의 합으로 나타낼 수 있습니다.
모든 세제곱수의 역수의 합 $\sum\limits_{k = 1}^{\infty} \dfrac{1}{k^{3}}$은 아페리 상수 라고 불리는데, 무리수 임이 밝혀져 있습니다.
모든 정수 $n$에 대하여 $n^3 \equiv -1 \pmod{9}$이거나 $n^3 \equiv 0 \pmod{9}$이거나 $n^3 \equiv 1 \pmod{9}$ 이므로, $a^3 + b^3 + c^3 \not\equiv 4 \pmod{9}$, $a^3 + b^3 + c^3 \not\equiv 5 \pmod{9}$를 만족시킵니다.
즉, 어떤 세 개의 세제곱수를 더한 값을 $9$로 나눈 나머지는 $4$나 $5$가 아닙니다.
$n \not\equiv 4 \pmod{9}$, $n \not\equiv 5 \pmod{9}$ 인 모든 자연수 $n$에 대해 $n = a^3 + b^3 + c^3$ 꼴로 나타낼 수 있는지 묻는 문제를 Sums of three cubes 문제라고 하는데, 아직까지 풀리지 않았습니다.
2019년에서야 $n = 33$일 때의 $a$, $b$, $c$ 값을 찾을 수 있었고, 해법이 무려 $33 = {(−2736111468807040)}^3 + {(−8778405442862239)}^3 + {(8866128975287528)}^3$입니다.
세 번 곱한 수가 아닌 두 번 곱한 수는 제곱수 라고 합니다.