페르마의 두 제곱수 정리 / 페르마의 크리스마스 정리 (Fermat's Theorem on Sums of Two Squares / Fermat's Christmas Theorem) 는 다음과 같습니다.
1. 홀수 소수 $p$가 어떤 두 정수 $x$, $y$에 대하여 $x^{2} + y^{2} = p$이다.이때의 두 제곱수는 $a^{2}$, 제곱수 (square) 2개를 뜻합니다.
2. 홀수 소수 $p$가 $p \equiv 1 \pmod{4}$이다.
두 명제는 동치이다.
$x^{2} + y^{2} = p$ 이면 제곱수를 4로 나눈 나머지는 0, 1이니 두 제곱수의 합의 나머지는 0, 1, 2만 가능 -> (명제 1 -> 명제 2)는 쉽게 증명 가능
모든 나머지가 $1$인 소수 $p$가 제곱수의 합이 된다는 것을 증명하는게 포인트