르장드르의 세 제곱수 정리
르장드르의 세 제곱수 정리 (Legendre's Three-Square Theorem) 는 다음과 같습니다.
$4^{a}(8b + 7)$꼴이 아닌 모든 자연수 $n$에 대하여
$$
n = x^{2} + y^{2} + z^{2}
$$
인 세 정수 $x$, $y$, $z$가 존재한다. (단, $a$, $b$는 음이 아닌 정수)
이때의 세 제곱수는 $a^{3}$, 즉 Cube 를 말하는게 아닌, 제곱수 (square) 3개를 뜻합니다.
$4^{a}(8b + 7)$ 꼴인 자연수 $n$이 세 제곱수의 꼴로 나타낼 수 없다는 걸 증명하는 것은 의외로 간단한데, 제곱수를 8로 나눈 나머지는 0, 1, 4 밖에 존재하지 않기 때문입니다.
0, 1, 4 조합에서 뭐를 어떻게 더해도 8로 나눈 나머지가 7이 될 수는 없습니다.
물론, 반대로 $4^{a}(8b + 7)$ 꼴이 아닌 모든 자연수 $n$을 세 제곱수의 합으로 나타낼 수 있다는 것을 증명하는 것은 굉장히 까다롭습니다.
증명 과정중에 심지어 디리클레의 등차수열 정리 까지 사용됩니다.
르장드르의 세 제곱수 정리 증명
$x^{2} + y^{2} + z^{2}$ 이면 제곱수를 8로 나눈 나머지는 0, 1, 4이니 두 제곱수의 합의 나머지는 7 제외만 가능