이진로그함수 $\lg{x}$는 다음과 같이 정의합니다.
$$ \lg x = \frac{\ln{x}}{\ln{2}} = \log_{2}{x} $$자연로그함수 의 밑이 $e$ 였다면, 이진로그함수는 밑이 $2$인 로그함수 입니다.
$\lg 3$이 유리수 라면, 유리수의 정의에 따라 어떤 두 정수 $p$, $q$에 대해 $\lg 3 = \frac{p}{q}$이고, 로그함수의 성질에 의해 $2^{\frac{p}{q}} = 3$이다.
지수 법칙에 의해 $2^{p} = 3^{q}$이고, $p \not= 0$, $q \not= 0$이 아니면 좌변은 짝수, 우변은 홀수이므로 $\lg 3 = \frac{p}{q}$ 라는 것이 모순이다.