메르텐스의 제 1 정리 (Mertens' First Theorem) 의 내용은 다음과 같습니다.
$$ \ln n - \sum_{p < n} \frac{\ln p}{p} = O(1) $$$\ln{p}$는 자연로그함수 , $O(1)$은 란다우 표기법 입니다.
$n$의 팩토리얼 값 $n!$은 $p$진 값매김 $\nu_{p} (n)$를 이용하여
먼저 좌변 $\sum\limits_{p \leq n} \ln{p} \left( \frac{n}{p}-1 \right) \leq \ln{n!}$을 식 정리를 해주면 $n \sum\limits_{p \leq n} \left( \frac{\ln{p}}{p} \right) - \sum\limits_{p \leq n} \ln{p} \leq \ln{n!}$이다.
우변 $\ln{n!} \leq \sum\limits_{p \leq n} \frac{n}{p - 1} \ln{p}$을 식 정리 해주면
$\sum\limits_{p \leq n} \left( \frac{\ln{p}}{(p - 1) p}\right)$은 $n$ 이하의 소수 $p$들에만 대하여 $\frac{\ln{p}}{(p - 1) p}$의 값을 합한 것이므로
$$ n! = \prod_{p \leq n} p^{\nu_{p} (n!)} $$
로 표기할 수 있다. 양 변에 자연로그를 씌우면
$$ \ln{n!} = \sum_{p \leq n} \nu_{p} (n!) \ln{p} $$
이다. 이때, 르장드르 공식 에 의해 $\frac{n}{p} - 1 \leq \nu_{p} (n!) \leq \frac{n}{p - 1}$ 이므로
$$ \sum_{p \leq n} \ln{p} \left( \frac{n}{p} - 1 \right) \leq \ln{n!} = \sum_{p \leq n} \nu_{p} (n) \ln{p} \leq \sum_{p \leq n} \frac{n}{p-1} \ln{p} $$
임을 알 수 있다.
좌변 $\sum\limits_{p \leq n} \ln{p} \left( \frac{n}{p}-1 \right) \leq \ln{n!}$ 식 정리
이때, 제 1종 체비셰프 함수 $\vartheta(x)$에 대하여 $\sum\limits_{p \leq n} \ln{p} = \vartheta(n)$이고, $e^{\vartheta(n)} < 4^{n}$에서 $\vartheta(n) < 2n \ln{2}$이므로
$$
n \sum_{p \leq n} \left( \frac{\ln{p}}{p} \right) - (2 \ln2)n < n \sum_{p \leq n} \left( \frac{\ln{p}}{p} \right) - \sum_{p \leq n} \ln{p} \leq \ln{n!}
$$
이다. $n \sum\limits_{p \leq n} \left( \frac{\ln{p}}{p} \right) - (2 \ln2)n < \ln{n!}$의 양 변을 $n$으로 나누면
$$
\sum_{p \leq n} \left( \frac{\ln{p}}{p} \right) - (2 \ln2) < \frac{\ln{n!}}{n}
$$
이 된다. 이때, $\ln{n!} = \sum\limits^{n}_{k = 1} \ln{k} < \int^{n + 1}_{1} \ln{x} dx$ (좌표평면에 그려보면 알 수 있다.) 이므로, 로그함수의 적분에서 $\int^{n + 1}_{1} \ln{x} dx = (n + 1) (\ln{(n + 1)} - 1) + 1$이다.
따라서, $\frac{\ln{n!}}{n} < \frac{(n + 1) (\ln{(n + 1)} - 1) + 1}{n}$이다.
식 정리를 잘 해주면 $\frac{(n + 1) (\ln{(n + 1)} - 1) + 1}{n} = \ln{(n + 1)} - 1 + \frac{\ln{(n + 1)}}{n}$이므로, $\frac{\ln{n!}}{n} < \ln{(n + 1)} - 1 + \frac{\ln{(n + 1)}}{n}$이다.
$n \geq 1$에서 $0 < \frac{\ln{(n + 1)}}{n} < 1$이므로, $\ln{(n + 1)} - 1 + \frac{\ln{(n + 1)}}{n} < \ln{(n + 1)}$이라 할 수 있고,
$n \geq 1$에서 $0 < \ln{(n + 1)} - \ln{n} < 1$이므로, $\ln{(n + 1)} < \ln{n} + 1$이고, 따라서 $\frac{\ln{n!}}{n} < \ln{(n + 1)} - 1 + \frac{\ln{(n + 1)}}{n} < \ln{n} + 1$에서 $\frac{\ln{n!}}{n} < \ln{n} + 1$이라 할 수 있다.
따라서 $\sum\limits_{p \leq n} \left( \frac{\ln{p}}{p} \right) - (2\ln2) < \frac{\ln{n!}}{n} < \ln{n} + 1$에서 $\sum_{p \leq n} \left( \frac{\ln{p}}{p} \right) - (2\ln2) < \ln{n} + 1$이고, 따라서
$$
\sum_{p \leq n} \left( \frac{\ln{p}}{p} \right) < \ln{n} + 1 + 2 \ln 2
$$
이다.
우변 $\ln{n!} \leq \sum\limits_{p \leq n} \frac{n}{p - 1} \ln{p}$ 식 정리
$$
\frac{\ln{n!}}{n} \leq \sum_{p \leq n} \frac{\ln{p}}{p - 1}
$$
이고, 이때, $\int^{n}_{1} \ln{x} dx < \sum\limits^{n}_{k = 1} \ln{k} = \ln{n!}$ (좌표평면에 그려보면 알 수 있다.) 이므로 로그함수의 적분에서 $\int^{n}_{1} \ln{x} dx = n (\ln{n} - 1) + 1$이다.
따라서, $\frac{n (\ln{n} - 1) + 1}{n} < \frac{\ln{n!}}{n}$이다.
식 정리를 잘 해주면 $\frac{n (\ln{n} - 1) + 1}{n} = \frac{n\ln{n} - n + 1}{n} = \frac{n\ln{n} + 1}{n} - 1 > \frac{n\ln{n}}{n} - 1$에서
$\ln{n} - 1 < \frac{n (\ln{n} - 1) + 1}{n} < \frac{\ln{n!}}{n}$이다. 따라서 $\ln{n} - 1 < \frac{\ln{n!}}{n} \leq \sum\limits_{p \leq n} \frac{n}{p-1} \ln{p}$ 에서
$$
\ln{n} - 1 < \sum_{p \leq n} \frac{\ln{p}}{p - 1}
$$
이다.
$\sum\limits_{p \leq n} \frac{\ln{p}}{p - 1}$을 $\sum\limits_{p \leq n} \frac{\ln{p}}{p}$로 변형해보면
$\sum\limits_{p \leq n} \left( \frac{\ln{p}}{p - 1} - \frac{\ln{p}}{p} \right) = \sum\limits_{p \leq n} \left( \frac{\ln{p}}{(p - 1) p}\right)$이다.
$\sum\limits_{p \leq n} \left( \frac{\ln{p}}{(p - 1) p}\right)$의 값
$\sum\limits_{p \leq n} \left( \frac{\ln{p}}{(p - 1) p}\right) \leq \sum\limits_{k = 2}^{n} \left( \frac{\ln{k}}{(k - 1) k}\right)$이다.
$\sum\limits_{k = 2}^{n} \left( \frac{\ln{k}}{(k - 1) k}\right) \leq \sum\limits_{k = 2}^{n} \left( \frac{\ln{k}}{{(k - 1)}^{2}}\right) = \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} \left( \frac{\ln{(k + 1)}}{{k}^{2}}\right)$에서, 우선 찾는 값이 $p$급수 판정법 에 의해 어떤 상수로 수렴한다는 것 까지는 알 수 있다.
명시적인 값을 찾기 위해 $\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} \left( \frac{\ln{(k + 1)}}{{k}^{2}}\right) \leq \ln2 + \int_{1}^{n - 1} \frac{\ln{x + 1}}{x^2} dx$ (좌표평면에 그려보면 알 수 있다.) 이고,
$\int \frac{\ln{(x + 1)}}{x^2} dx = \ln{x} - \frac{\ln{(x + 1)}}{x} - \ln{(x + 1)} + C$임을 이용해주면, $\int_{1}^{n - 1} \frac{\ln{x + 1}}{x^2} dx = \ln{(n - 1)} - \frac{n \ln{n}}{(n - 1)} + 2\ln2$이다.
$\ln{(n - 1)} - \frac{n \ln{n}}{(n - 1)} < 0$에서 $\int_{1}^{n - 1} \frac{\ln{x + 1}}{x^2} dx = \ln{(n - 1)} - \frac{n \ln{n}}{(n - 1)} + 2\ln2 < 2\ln2$이다.
따라서 $\sum\limits_{p \leq n} \left( \frac{\ln{p}}{(p - 1) p}\right) < 2\ln{2}$이다.
$\sum\limits_{p \leq n} \left( \frac{\ln{p}}{p - 1} \right) < \sum\limits_{p \leq n} \left( \frac{\ln{p}}{p}\right) + 2 \ln{2}$이므로,
$\ln{n} - 1 < \sum\limits_{p \leq n} \frac{\ln{p}}{p-1} < \sum\limits_{p \leq n} \left( \frac{\ln{p}}{p}\right) + 2 \ln{2}$에서
$$ \ln{n} - 1 < \sum_{p \leq n} \left( \frac{\ln{p}}{p}\right) + 2 \ln{2} $$
이고, 따라서
$$ \ln{n} - 1 - 2 \ln{2} < \sum_{p \leq n} \left( \frac{\ln{p}}{p}\right) $$
이다.
따라서, $$ - 1 - 2 \ln{2} < \sum_{p \leq n} \left( \frac{\ln{p}}{p}\right) - \ln{n} < 1 + 2 \ln{2} $$ 이고, $$\ln n - \sum_{p < n} \frac{\ln p}{p} = O(1)$$ 을 만족하게 된다.