중심 이항계수

$n$번째 중심 이항계수 (Central Binomial Coefficient)는 다음과 같이 정의합니다.

$$ \binom{2 n}{n} = \frac{(2n)!}{{(n!)}^{2}} = \prod_{k = 1}^{n}\frac{n + k}{k} $$
$\binom{2 n}{n}$은 이항계수 , $n!$은 팩토리얼 표기입니다.
$\frac{4^{n}}{2 n + 1} < \binom{2 n}{n} < 4^{n}$이라는 상한과 하한의 범위도 알려져있습니다.
$n$번째 중심 이항계수를 $n + 1$로 나누면 카탈랑 수 가 됩니다.
중심 이항 계수의 주요 특징들은 다음과 같습니다.

중심 이항 계수의 주요 특징들

1. $f(k) = \binom{2n}{k} (0 \leq k \leq 2n)$의 최댓값은 $k = n$일 때의 값 $\binom{2n}{n}$이다.

1번 성질 증명

보조정리
A. $\binom{n}{k - 1} < \binom{n}{k}$ 와 $k < \frac{n + 1}{2}$는 동치이다.
B. $\binom{n}{k - 1} > \binom{n}{k}$ 와 $k > \frac{n + 1}{2}$는 동치이다.
C. $\binom{n}{k - 1} = \binom{n}{k}$ 와 $k = \frac{n + 1}{2}$ ($n$은 홀수)는 동치이다.
보조정리 증명

증명은 이항계수의 정의에 의해 쉽게 할 수 있습니다.

이항계수 의 정의
$$ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!} $$
어떤 비율 $r(k)$를 $$ r(k) = \frac{\binom{n}{k}}{\binom{n}{k - 1}} $$ 라 하자.
이항계수의 정의에 따라 $$ \frac{\binom{n}{k}}{\binom{n}{k - 1}} = \frac{\frac{n!}{k! (n - k)!}}{\frac{n!}{(k - 1)! (n - k + 1)!}} = \frac{(k - 1)! (n - k + 1)!}{k! (n - k)!} = \frac{n - k + 1}{k} $$ 이다. 따라서 $r(k) = \frac{n - k + 1}{k}$이다.
$r(k) > 1$인 것과 $k < \frac{n + 1}{2}$인 것은 동치이고, $r(k) < 1$인 것과 $k > \frac{n + 1}{2}$인 것은 동치이고, $r(k) = 1$인 것과 $k = \frac{n + 1}{2}$ 인 것은 동치이다.
B에는 $k := k + 1$을 대입해서 $\binom{n}{k} > \binom{n}{k + 1}$ 와 $k > \frac{n - 1}{2}$은 동치이다 라고 할 수 있다.


보조정리 중 A에 따라서 $k < n + \frac{1}{2}$이면 $\binom{2n}{k - 1} < \binom{2n}{k}$ 이다.
보조정리 중 B에 따라서 $k > n - \frac{1}{2}$이면 $\binom{2n}{k} < \binom{2n}{k + 1}$ 이다.
$f(k)$가 $(0 \leq k \leq n)$에서 강하게 증가하고, $(n \leq k \leq 2n)$에서 강하게 감소하기 때문에, $f(k)$는 $k = n$에서 최댓값 $\binom{2n}{n}$을 갖는다.

2. 모든 양의 정수 $n$에 대하여 $$ \frac{4^{n}}{2 n + 1} < \binom{2 n}{n} < 4^{n} $$ 이다.
2번 성질 증명

이항정리 에 의해 $$ 2^{2n} = {(1 + 1)}^{2n} = \sum_{k = 0}^{2n} \binom{2n}{k} {1}^{2n - k} {1}^{k} = \sum_{k = 0}^{2n} \binom{2n}{k} $$ 이다.
성질 1에서 $f(k) = \binom{2n}{k} (0 \leq k \leq 2n)$의 최댓값은 $k = n$일 때의 값 $\binom{2n}{n}$ 이므로, $(0 \leq k < n)$ 일 때 $\binom{2n}{k} < \binom{2n}{n}$, $(n < k \leq 2n)$ 일 때 $\binom{2n}{k} < \binom{2n}{n}$이다.
따라서 $$ \sum_{k = 0}^{2n} \binom{2n}{k} = \binom{2n}{n} + \left( \sum_{k = 0}^{n - 1} \binom{2n}{k} \right) + \left( \sum_{k = n + 1}^{2n} \binom{2n}{k} \right) $$ 이다.

증명 part1. 좌변의 경우:

$(0 \leq k < n)$ 일 때 $\binom{2n}{k} < \binom{2n}{n}$, $(n < k \leq 2n)$ 일 때 $\binom{2n}{k} < \binom{2n}{n}$ 조건에 따라서, $$ \sum_{k = 0}^{2n} \binom{2n}{k} = \binom{2n}{n} + \left( \sum_{k = 0}^{n - 1} \binom{2n}{k} \right) + \left( \sum_{k = n + 1}^{2n} \binom{2n}{k} \right) < \binom{2n}{n} + n \binom{2n}{n} + n \binom{2n}{n} $$ 이다.
따라서 $$ {(1 + 1)}^{2n} < \binom{2n}{n} + n \binom{2n}{n} + n \binom{2n}{n} = (2n + 1) \binom{2n}{n} $$ 에서, $$ \frac{4^{n}}{2n + 1} < \binom{2n}{n} $$ 이다.

증명 part2. 우변의 경우:

$$ \sum_{k = 0}^{2n} \binom{2n}{k} = \binom{2n}{n} + \left( \sum_{k = 0}^{n - 1} \binom{2n}{k} \right) + \left( \sum_{k = n + 1}^{2n} \binom{2n}{k} \right) $$ 에서, $$ \left( \sum_{k = 0}^{n - 1} \binom{2n}{k} \right) + \left( \sum_{k = n + 1}^{2n} \binom{2n}{k} \right) $$ 의 값이 양수이므로, $$ \sum_{k = 0}^{2n} \binom{2n}{k} = \binom{2n}{n} + \left( \sum_{k = 0}^{n - 1} \binom{2n}{k} \right) + \left( \sum_{k = n + 1}^{2n} \binom{2n}{k} \right) > \binom{2n}{n} $$ 이다.
따라서 $$ {(1 + 1)}^{2n} = \sum_{k = 0}^{2n} \binom{2n}{k} > \binom{2n}{n} $$ 에서, $$ \binom{2n}{n} < 4^{n} $$ 이다.

따라서 $$ \frac{4^{n}}{2 n + 1} < \binom{2 n}{n} < 4^{n} $$ 이다.

3. 점근 공식은 $$ \binom{2n}{n} \sim \frac{4^{n}}{\sqrt{\pi n}} $$ 이다. ($\pi$는 원주율 $\pi$ )
4. $p$진 값매김 $\nu_p (n)$에 대하여 $p^{\nu_p \left( \binom{2n}{n} \right)}\leq 2n$이다.
4번 성질 증명

르장드르 공식 사용

아페리 상수 $\zeta(3)$에 대하여 $\zeta(3) = \frac{5}{2} \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^3 \binom{2n}{n}}$ 라는 관계식이 성립합니다.