시에르핀스키 상수

시에르핀스키 상수 (Sierpiński's Constant) $K$는 다음과 같이 정의합니다.

$$ K = \lim_{n \to \infty} \left( \left( \sum_{k = 1}^{n} \frac{r_{2}(k)}{k} \right) - \pi \ln{n} \right) $$

$r_{2}(k)$는 제곱수의 합 함수 , $\pi$는 원주율 $\pi$ , $\ln x$는 자연로그함수 입니다.
$r_{2}(k)$는 좌표평면상에서 $(0, 0)$에서 $\sqrt{k}$만큼 떨어진 정수 좌표 점 (m, n)의 개수로 생각할 수도 있습니다.
다음과 같이 닫힌 형식으로 표기할 수도 있습니다.

$$ K = \pi \left(2 \gamma + 4 \ln{\Gamma\left( \frac{3}{4} \right)} - \ln\pi \right) $$

$\gamma$는 오일러-마스케로니 상수 , $\Gamma(x)$는 감마함수 입니다.